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Ableitung (Regeln Beweise )
 
 
 
 
Satz
Potenzregel
Die Potenzfunktion f(x) = xn; x ist für jedes n\{0} differenzierbar und es gilt:
f'(xo)=n·xon-1
Beweis
 
Satz
Konstantenregel
Die Ableitung f' der konstanten Funktion f: xc; c ist die Nullfunktion. Es gilt:
f'(xo)=0
Beweis
 
Satz
Faktorregel
Ist u eine in D differenzierbare Funktion, so ist auch f(x) = c·u(x) mit c differenzierbar und es gilt:
f'(xo)=c·u'(xo) für alle xo aus D.
Beweis
 
Satz
Summenregel
Sind f und g an der Stelle xo differenzierbar, so ist auch f+g an der Stelle xo differenzierbar und es gilt:
(f+g)'(xo)=f'(xo)+g'(xo).
Beweis
 
Satz
Produktregel
Sind f und g an der Stelle xo differenzierbar, so ist auch f·g an der Stelle xo differenzierbar und es gilt:
(f·g)'(xo)=f'(xo)·g(xo)+f(xo)·g'(xo).
Beweis
 
Satz
Quotientenregel
Sind f und g an der Stelle xo differenzierbar und ist g(xo)0, so ist auch  an der Stelle xo differenzierbar und es gilt:
Beweis
Sei  
Dann ist   f=g·F
Aus Produktregel folgt:   f'(xo)=g'(xo)·F(xo)+g(xo)·F'(xo)
Schließlich ist  
 
Satz
Kettenregel
Ist g an der Stelle xo differenzierbar und f an der Stelle g(xo) differenzierbar, so ist auch die Verkettung f o g an der Stelle xo differenzierbar und es gilt:
(f o g)'(xo)=f'(g(xo))·g'(xo).
Beweis
 
Satz
Reziprokregel
Ist f in einer Umgebung U von xo differenzierbar und ist f'(x)0 für alle xU, so ist f dort umkehrbar, d.h. es gibt eine Funktion f-1 mit f-1 o f=id (identische Funktion auf U) und f o f-1=id (identische Funktion auf f(U)). Für yo=f(xo) gilt:
Beweis
Es ist   f(f -1(xo))=xo
Aus Kettenregel folgt:   f'(f -1(xo))·(f -1(xo)'=1
und schließlich