Die Sinusfunktion ist für alle x differenzierbar
und es gilt:
sin'(xo)=cos(xo)
Vorüberlegungen
Um sin'(x) herleiten zu können muss man sich vorher folgendes überlegen:
Die Fläche des Kreisausschnitts 0BD ist größer als die Fläche des Dreiecks
0AD, aber kleiner als die des Dreiecks 0BC. Für diesen Ausschnitt gilt die Formel:
Einheitskreis (1. Quadrant)
und damit:
Aus
sin (x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y
und
folgt:
Weiterhin soll gelten:
Dadurch führt der Grenzwert von auf den Grenzwert von
:
Beweis
Satz
(cos x)'
Die Kosinusfunktion ist für alle x differenzierbar
und es gilt:
(cos x)'=-sin x
Beweis
Da ,
kann man (cos x)' leicht durch Anwenden der Kettenregel aus (sin x)' herleiten:
Satz
(tan x)'
Die Tangensfunktion ist für alle x\=D(f)
differenzierbar und es gilt:
(tan x)'=1+tan²x
Beweis
Da ,
lässt sich (tan x)' leicht durch Anwenden der Quotientenregel
aus (sin x)' und (cos x)' herleiten:
Satz
(ex)'
Die natürliche Exponentialfunktion ist für alle x
differenzierbar und es gilt:
(ex)'=ex
Vorüberlegung
Beweis
Satz
(ln x)'
Die natürliche Logarithmusfunktion ist für x>0
differenzierbar und es gilt:
(ln x)'=1/x
Vorüberlegung
Da die Funktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist,
lässt sich (ln x)' leicht durch Anwenden der Reziprokregel aus (ex)' herleiten:
differenzierbar
und es gilt:
auf den Grenzwert von
:
,
=D(f)
differenzierbar und es gilt:
,
die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion 
ist,
lässt sich (ln x)' leicht durch Anwenden der Reziprokregel aus (ex)' herleiten:
