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Ableitung (Ableitung 2 )
 

  
 
 
Auf die Plätze
fertig
los!
 Für die Berechnung der Geradensteigung benötigt man zwei Punkte der Funktion. Die Tangente berührt den Graphen aber in nur einem Punkt an der Stelle xo.
Also wählt man einen weiteren Punkt der Funktion, den man beliebig nahe an xo schiebt.

Momentaufnahme
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x2.
Gesucht ist die Tangentensteigung an der Stelle x0=1.

Mit Hilfe der Differenzenquotienten
 

 
nähern wir uns x0=1.

Beobachte,
wie sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung nähert,
wenn sich der grüne Punkt dem roten Punkt nähert.

 

Je geringer man den Abstand von x zu x0 wählt, desto sicherer kann man sein, dass die Tangentensteigung an der Stelle x0 den Wert  hat.
Java Applet nicht darstellbar
 
Mit anderen Worten:
 Unser obiges Vorgehen fassen wir mit folgender Definition zusammen:
Definition

Ableitung

Existiert an der Stelle xo des Definitionsbereichs D(f) einer Funktion f,
der Grenzwert ,

so wird dieser als Ableitung der Funktion f an der Stelle xo bezeichnet.
Die Schreibweise dafür lautet f'(xo) (sprich: "f Strich von x Null").

Die Funktion f heißt dann an der Stelle xo differenzierbar.

geometrische Bedeutung:
 Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graph der Funktion f im Punkt (xo / f(xo)) an.
Momentaufnahme
 Stelle jeweils verschiedene Werte für x0 ein und beobachte, wo die Steigung der Tangente negativ und wo positiv ist:
Java Applet nicht darstellbar Java Applet nicht darstellbar
 
Voraussetzungen
 Damit der Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion an einer Stelle xo existieren kann, muss die zugehörige Funktion f bestimmte Voraussetzungen erfüllen.

 
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