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Ableitung (Regeln 2 )
 

 
 
 
Eigentlich ist das ja schon wieder Thema für ein eigenes Modul...
Manchmal sehen die Funktionsterme etwas komplizierter aus. Dann kommt man mit der "Faustregel" allein nicht weiter.

Drei Beispiele: 
 h(x) = 2x3+7x(Summe zweier Potenzen)
 h(x) = (x4-5)·(2x3-5x)(Produkt und Summe kombiniert)
 h(x) = (2x3+7x)2(Verkettete Funktionen)

Um derartige Funktionen ableiten zu können, gibt es die folgenden Regeln:

  
Übersicht

Ableitungs-
regeln

Es seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

Summenregel (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) 
Produktregel (f·g)'(x) = f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) 
Quotientenregel g(xo)0
Kettenregel (g ° f)'(x) = g(f(x)) = g'(f(x))·f'(x) Tip: Die Kettentregel merkt man sich leicht als "innere
		mal äußere Ableitung."
Reziprokregel f'(x)0

Hinweis
Hier gibt es die zugehörigen Sätze und Beweise.
 
Summenregel
Ein Beispiel zur Summenregel:

h(x) 2x3 + 7x
f(x) + g(x)  mit  f(x) 2x3  und  f'(x) 3·2x2 6x2
g(x) 7x1 g'(x) 1·7x0 7
h'(x) f'(x + g'(x) 
6x2 + 7

 
Produktregel
Ein Beispiel zur Produktregel (und auch wieder Summenregel):

h(x) (x4-5) · (2x3-5x)
f(x) · g(x)  mit  f(x) x4-5  und  f'(x) 4x3
g(x) 2x3-5x g'(x) 6x2-5
h'(x) f'(x · g(x) + f(x · g'(x)
(4x3)·(2x3-5x) + (x4-5)·(6x2-5)

 
Kettenregel
Ein Beispiel zur Kettenregel (und auch wieder Summenregel):

h(x) (2x3+7x)2
f(g(x))  mit  f(x) x2  und  f'(x) 2x
g(x) 2x3+7x g'(x) 6x2+7
h'(x) f'(g(x)) · g'(x)
2(2x3+7x) · (6x2+7)

 
Übersicht

weitere Ableitungen

(sin x)' = cos xfür x Beweis
(cos x)' = -sin xfür x Beweis
(tan x)' = 1/cos2x für x\ Beweis
(ex)' = ex für xBeweis
(ln x)' = 1/x für x>0 Beweis
 
Beobachte die verschiedenen Ableitungsfunktionen
Java Applet nicht darstellbar
 
Ausblick:

höhere Ableitungen

Ist die Ableitungsfunktion f' einer Funktion f wieder differenzierbar, so kann man die zweite Ableitungsfunktion f'':=(f')' bilden. Allgemein wird die n-te Ableitung f(n):=(f(n-1))' rekursiv definiert.

 
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