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Fraktale und Chaosspiel (Grundbegriffe 3 )
 

 

 
 

rückgekoppelte Zahlen 

Es sei eine Funktion mit einem Definitionsbereich und . Mit dem Startwert können wir eine Folge von Zahlen bilden, indem wir - sofern die Ergebnisse auch zu gehören - das letzte Ergebnis immer wieder in die Funktion einsetzen:

   usw.

 
Einfache Rückkopplung 
In der Regeltechnik kennt man Rückkopplungssysteme, bei denen eine Ausgangsgröße auf den Systemeingang zurückgeführt wird und auf diese Weise wiederum die folgenden Ausgangsgrößen beeinflusst. Kombinieren wir beide Begriffe in einem Schaubild:

Die gesamte Anlage nennen wir kurz Rückkopplung, und einen Verarbeitungsschritt nennen wir eine Iteration.

In der Schule wird manchmal die Quadratwurzel einer reellen Zahl nach dem Heron-Verfahren berechnet. Die Iterationsformel dafür lautet

 
Heron-Wurzelautomat
Als Startwert ist voreingestellt. Zu Beginn ist die Konstante in der Formel, also die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll.

Betätige den Knopf "Iteration" und beobachte, was passiert. "Reset" setzt die Maschine auf die Ausgangswerte zurück. Führe solange Iterationen aus, bis sich an den Zahlen in Ein- und Ausgang der Maschine nichts mehr ändert.

Führe weitere Experimente durch:

Wiederhole die Rückkopplung mit unterschiedlichen Startwerten. Wähle auch andere Radikanden .

 
 
Welche Aussagen kannst du zum Verhalten der Maschine machen?
 
Mögliche Ergebnisse 
 
 
Das Experiment gibt Anlass, einen weiteren wichtigen Begriff herauszustellen:
 
Definition 
Eine Zahl mit heißt Fixpunkt der Rückkopplung, d.h. eine Iteration mit Eingangswert x führt wieder zur Ausgabe x.
 
 
Wenn wir unsere Rückkopplungsmaschine mit positivem Startwert x und positivem Radikanden z verwenden, sind die berechneten Wurzelwerte demnach Fixpunkte der Funktion mit .
 
Berechne mit der Maschine die Wurzel aus 15. Das Ergebnis (mit den ersten 6 Stellen nach dem Dezimalpunkt) lautet:  
 
 
 
 
Jetzt verlassen wir wieder die Welt der reinen Zahlen und kehren zurück zur Geometrie.
 
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