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Fraktale und Chaosspiel (Abbildungen 1 )
 

 

 
 
 
Zuletzt war der Begriff Fixpunkt aufgetreten, obwohl es sich nur um eine Zahl handelte. Anstelle von Zahlen benutzen wir jetzt "echte" Punkte der Ebene. Die Funktionen von vorhin sind nun bestimmte zweidimensionale geometrische Abbildungen, auch Transformationen genannt.
 
Geometrische Abbildungen
Die gewählte Abbildung wird jeweils auf ein feststehendes Ausgangsrechteck (das "Proberechteck") angewandt. Das Ergebnis wird in derselben Zeichenebene dargestellt. Alle Abbildungen besitzen einen Fixpunkt (Zentrum des weißen Kreises bzw. des schwarzen Fadenkreuzes), der bei Anwendung der Abbildung unverändert bleibt.

Untersuche (Auswahl Transformation): Drehungen, Zentrische Streckungen, Drehstreckungen und Scherungen. Verschiebe den Fixpunkt. Verändere außerdem (falls aktiv): Streckfaktor, Drehwinkel und Scherwinkel.

Tipps: Man darf auch negative Zahlen benutzen. Die Streckfaktorbeträge sollten nicht viel größer als 1.5 sein, weil man sonst das Ergebnis nicht mehr sieht. Die Eingabetaste aktualisiert das Bild.

 
 
Was stellst du fest?
 
Mögliche Ergebnisse 
 
 
Bevor es zu weiteren Aktivitäten kommt, klassifizieren wir die wichtigsten geometrischen Abbildungen und erfahren etwas über die Berechnung.
 
1. Definition 
Sei eine Matrix mit reellen Zahlen und sei ein fester Vektor der Ebene. Jede Abbildung mit heißt affine Abbildung der Ebene.
 
 
Definitionsmenge ist die Menge aller Ortsvektoren der Punkte der Ebene. Der Ortsvektor eines Punktes ist die Verschiebung, die vom Ursprungspunkt zum Punkt führt. Man rechnet also einfach mit den Koordinaten von .
 
2. Definition 
Eine affine Abbildung heißt umkehrbar, wenn für ihre Determinante gilt.
 
 
Umkehrbare affine Abbildungen sind bei der Anwendung auf Figuren parallelenerhaltend und teilverhältnistreu (treu = erhaltend).
 
3. Definition 
Ähnlichkeitsabbildungen ist der Name für Transformationen, die eine Matrix der Form besitzen. Dabei ist der Drehwinkel und eine reelle Zahl.

Gilt darüber hinaus , ist die Ähnlichkeitsabbildung sogar eine Kongruenzabbildung.

 
 
Ähnlichkeitsabbildungen sind bei der Anwendung auf Figuren winkeltreu. Kongruenzabbildungen sind winkeltreu und streckentreu, was letztlich bedeutet, dass die Bildfigur deckungsgleich zur Ausgangsfigur ist. Insbesondere von den Ähnlichkeitsabbildungen werden wir im nächsten Kapitel ausgiebigen Gebrauch machen.
 
 
Ein paar Kontrollfragen schließen diesen Abschnitt ab:
 
Welchen Wert muss man für den Streckfaktor eintragen, damit aus der Scherstreckung eine reine Scherung wird? Antwort:  

Markiere in der Tabelle alle richtigen Eigenschaften:

Transformation Dreh-
streckungen  
Scher-
streckungen  
Drehungen   Zentrische
Streckungen  
parallelentreu
nicht winkeltreu
Ähnlichkeitsabbildung
Streckfaktor variabel
 
 
 
 

 
Du hast  von 8 möglichen Punkten erreicht.
 
 

 
 
Wir bleiben geometrisch, aber im nächsten Abschnitt kommt die Rückkopplung wieder zum Einsatz.
 
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