Fraktale und Chaosspiel (Chaosspiel 1 )

 

Es steht eine Erweiterung der Rückkopplungsmaschine bevor, durch die eine qualitative Veränderung der Bildpunktefolgen erzielt wird.

IFS und Chaosspiel

 

 

 

Wichtige Ergebnisse aus der Diashow stellen wir noch einmal heraus:

Zufall = Chaos? 

Die Glücksrad-Rückkopplungsmaschine mit einem beliebigen Startpunkt und zufällig ausgewählten geometrischen Transformationen aus einem vorhandenen Satz von kontrahierenden Abbildungen führt das sogenannte Chaosspiel aus. Mit dieser Methode entstehen fraktale Grafiken wie das nächste Bild.

IFS 

Die Funktionen

, die beim Chaosspiel für die zufällige Auswahl bei jeder Iteration zur Verfügung stehen, bilden ein System, das Iteriertes Funktionensystem oder auch Iteratives Funktionensystem oder kurz IFS genannt wird.

 

Kernfrage 

Wie entstehen solche Bilder?

Oder genauer: Wieso erzeugen Rückkopplungsmaschinen mit mehreren Abbildungen ganz andere Bilder als Rückkopplungsmaschinen mit nur einer einzigen Abbildung?

 

	bekannt ist:	Bei Rückkopplungsmaschinen, die nur eine einzige Abbildung verwenden, gilt: "Ein Fixpunkt ist ein Objekt, das durch Anwenden einer Abbildung wieder auf sich selbst abgebildet wird."
	neue Interpretation:	Die komplexeren Maschinen erzeugen jeweils eine Figur, die auf sich selbst abgebildet wird, wie z.B. im Bild oben. Wir nennen diese Figuren Attraktoren. Das Bild zeigt also den Attraktor eines speziellen IFS.
	bekannt ist:	Der Begriff kontrahierend bei einer einzigen Abbildung bedeutet, dass der Abstand zweier Bildpunkte kleiner ist als der Abstand der zugehörigen Ausgangspunkte.
	neue Interpretation:	Mathematiker haben einen zentralen Satz über kontrahierende IFS bewiesen. Ein IFS ist kontrahierend, wenn der Bildpunktabstand je zweier Punkte kleiner ist als der Abstand der Ausgangspunkte unter der Voraussetzung, dass alle Funktionen des IFS nacheinander auf die Ausgangspunkte angewandt worden sind. Wenn die einzelnen Funktionen eines IFS kontrahierend sind, darf man sich dessen sicher sein.

 

Der zentrale Satz lautet:

Satz über IFS 

Jedes kontrahierende IFS hat einen eindeutigen Attraktor. Die Anwendung des IFS auf den Attraktor ergibt wieder den Attraktor

Hast du die Begriffe verstanden?

Der Begriff Fixpunkt ist ein rein geometrischer Begriff.

Der Fixpunkt einer affinen Abbildung kommt heraus, wenn man die affine Abbildung auf ihn anwendet.

Jedes IFS besitzt einen Attraktor.

Der Einsatz der Glücksrad-Rückkopplungsmaschine mit IFS wird Chaosspiel genannt.

Der Attraktor eines IFS verändert sich bei jedem neuen Chaosspiel.

Ein IFS kann aus mehreren affinen Abbildungen bestehen.

Du hast  von 6 möglichen Punkten erreicht.

 

Bei Problemen mit dem Begriff des Fixpunkts: siehe auch S. 4.

Die folgenden Experimente sollen die Entstehung von Attraktoren plausibel machen.

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Die Ein- und Ausgabe der Rückkopplungsmaschine belassen wir bei Punkten der Ebene.

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Ab sofort verwenden wir jedoch nur noch kontrahierende affine Abbildungen der Ebene.

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Statt einer einzigen benutzen wir jetzt viele verschiedene Abbildungen .

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Diese sollen aber nicht gleichzeitig zur Anwendung kommen. Vielmehr lassen wir ein "Glücksrad" entscheiden, welche der vorhandenen Transformationen mit der Rechnung beauftragt wird.

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Die Nutzung eines "Glücksrads" bedeutet mathematisch, dass Wahrscheinlichkeitswerte eine Bedeutung für den Rückkopplungsprozess bekommen.

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Das sich drehende Rad ist das Sinnbild für die zufällige Auswahl einer Abbildung . Unterschiedliche Größen einzelner Radsegmente deuten an, dass nicht jede Auswahl gleich wahrscheinlich sein muss. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten beträgt 1, denn es ist sicher, dass bei jeder Iteration eine der ausgewählt wird.

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Einen Rückkopplungsprozess mit zufälliger Funktionenauswahl nennt man unter diesen Bedingungen ein Chaosspiel.

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Die Funktionen , die beim Chaosspiel für die zufällige Auswahl bei jeder Iteration zur Verfügung stehen, bilden ein System. Dieses System heißt Iteriertes Funktionensystem oder auch Iteratives Funktionensystem oder kurz IFS.

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Eigentlich gibt es nichts Chaotisches am "Chaosspiel", obwohl die Auswahl der Funktion bei jeder Iteration dem Zufall überlassen wird. Aber beim Gedanken an einen Würfel, der unberechenbar über den Tisch springt, um dann schließlich eine unvorhersagbare Zahl zu zeigen, kommen solche Assoziationen auf.

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Später werden wir sehen, dass das Ergebnis wohlbestimmt sein kann, obwohl dem Zufall Raum gelassen wird.

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