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Parkettierungen (Flächenornamente systematisch 2 )
 

 

 
 
Nomen est omen

 

Sicher ist dir aufgefallen, dass 15 Gruppennamen mit p und zwei mit c beginnen. Die Abkürzung p steht für einfache Zellen (primitive cell, Bild links), die Abkürzung c steht für zentrierte Zellen (centered cell), die sich jeweils aus den Verschiebungen ergeben. Die Besonderheit an den zentrierten Zellen ist, dass mindestens eine der Diagonalen eine Spiegelachse darstellt. In dem Fall kann die Einheitszelle in eine rechteckige Zelle des doppelten Flächeninhalts eingelagert werden, daher ''zentrierte Zelle''.

Was die Zahlen 1,2,3,4 und 6 bedeuten, versteht man nach der folgenden Information:

 
Kristall-Drehungen 
Für  Flächenornamente gilt die Kristallographische Beschränkung:

Ist der Punkt ein Drehzentrum eines Flächenornaments, dann geht das Ornament ausschließlich durch einen der Drehwinkel 60°, 90°, 120°, 180° und 360° oder deren Vielfache in dieselbe Gestalt über (Beweis: Aufgabenblatt).

Es können also nur die Zahlen , , , und mit den Drehwinkeln ° vorkommen; kennzeichnet dabei den minimalen Drehwinkel in Bruchteilen von 360° bis zur Deckung mit dem Ausgangsparkett.

 
 
Es bleiben noch die zusätzlichen Buchstaben g und m. Die Abkürzung g steht für eine Gleitspiegelung (glide reflection) und jedes m kennzeichnet eine Spiegelung (mirror reflection).

Weitere FeinheitenMauszeiger über das Bild halten!: Bei p3m1 sind alle Drehzentren auf Spiegelachsen, bei p31m nicht.

 
Systematische 17 
Winkel Winkel Winkel Winkel Winkel
Reine Bewegungen
p1
p2
p3
p4
p6
dazu nur Spiegelungen
pm
pmm
dazu nur Gleitspiegelungen
pg
pgg
dazu Spiegelungen
und Gleitspiegelungen
cm
pmg
cmm
p31m
p3m1
p4m
p4g
p6m

Übersicht: Die 17 Ornamentgruppen und ihre geometrischen Operationen

 
Beispiel

p4m anschaulich

Untersuche die Symmetrien, die das Parkett vom Typ p4m im Ganzen aufweist. Führe geometrische Operationen aus, die die Gestalt des Parketts nicht verändern.

Bei richtigen Drehzentren und dem richtigen Winkel bzw. richtigen Spiegelachsen, sieht das bearbeitete Bild wie das Original aus.

Kleine ''Wackler'' im Parkett trotz der richtigen Symmetrieoperationen rühren von kleinen Ungenauigkeiten im Aufbau des Parketts oder bei den Einstellungen her. Im Original (Alhambra) haben die Steine z.T. unterschiedliche Farben (siehe Modultitelbild).

 
Ergebnisse 
Das Parkett weist die typischen Symmetrien der Gruppe p4m auf. Es gibt 90°-Drehzentren (n=4) und Spiegelachsen auch in Drehzentren.
 
 
Was bedeutet eigentlich ''Gruppe''?

Wer es wissen will, geht zur Unterseite  Symmetriegruppen.

Die Folgeseite präsentiert den Abschlusstest...

 
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