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Parkettierungen (Einleitung 2 )
 

 

 
 
Auswertung 
Gefallen dir deine selbst erzeugten Kacheln?

Beim Bewegen der gegebenen Punkte, die die Form der Fliesen festgelegt haben, bestand völlige Freiheit. Wahrscheinlich bist du - neben der lückenlosen Rechteckfüllung - auch auf die Typen von gekachelten Wänden gestoßen, die in der Diashow gezeigt werden.

 
Selbst ist der Kachelmann
 
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Parkettbilder 
Hersteller von Fliesen haben meist das Ziel, eine beliebig ausgedehnte Ebene mit nur einer Kachelsorte lückenlos zu füllen.

Fische All M.C. Escher works © 2007 The M.C. Escher Company - the Netherlands. All rights reserved. Used by permission. www.mcescher.com


Der berühmte niederländische Grafiker und Künstler  M.C. Escher hat sich nie mit diesem einfachen Ziel begnügt. Er baute seine ''Symmetriezeichnungen'' aus mehreren verschiedenen ''Motiven'' auf, die durch Drehung und Spiegelung auseinander hervorgehen. Im Bild gibt es beispielsweise zwei solche Motive, den hellen und den dunklen Fisch.

Für unsere Ziele benötigen wir folgende geometrische Begriffe:

 
 
Ein Polygon (Vieleck) ist eine geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Kantenzug gebildet wird. Wir beschränken uns hier auf Polygone, bei denen alle zugehörigen Kanten in einer Ebene liegen. In dem Experiment hast du ein solches Polygon festgelegt.

Kanten sind die Verbindungen je zweier Eckpunkte (Ecken). Unter einem Kantenzug versteht man eine Reihe von zusammenhängenden Kanten. Wir werden auch den Durchlaufsinn beachten, unterscheiden also z.B. die Kantenzüge ABC und CBA voneinander.

Die lückenlose und überlappungsfreie periodische Bedeckung der Ebene mit  deckungsgleichen (kongruenten) Polygonen einer Sorte nennt man eine Parkettierung der Ebene.

 
 
Man spricht stattdessen manchmal auch von der regelmäßigen Flächenaufteilung. Übrigens werden die Teile einer Parkettierung in der Mathematik als Parkettsteine bzw. als Zerlegungsbereiche bezeichnet. Wir nennen sie kurz Kacheln. Die Kanten müssen auch nicht geradlinig sein, aber zunächst kann man sich die Betrachtung damit erleichtern.
 
Ein Begriff wird Programm 
Ab sofort erzeugen wir Parkettierungen.
 
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Die Ausgangssituation hat übliche rechteckige Kacheln gezeigt.
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Vielleicht warst du zu Beginn etwas unvorsichtig und hast durch eine ''exotische Kachel'' die Maschine aus dem Konzept gebracht. Das Durcheinander war nur durch Reset wieder aufzulösen...
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Eventuell ließen sich die Kacheln nicht passend aneinander legen und so entstand eine überlappende Bedeckung der Wand. Durch einen Wechsel in der Überlappung sah das Muster stellenweise anders aus.
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Es kann aber auch gleichzeitig zu Lücken und Überlappungen gekommen sein.
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Du kannst die Überlappungen durch Umformungen vermieden haben, so dass nur Lücken entstanden sind.
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Wenn die Lücken regelmäßig sind, kann man sich vorstellen, dass sie durch zusätzliche Kachelsorten gefüllt werden könnten.
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Hast du es auch geschafft, sowohl die Lücken als auch die Überdeckungen zu vermeiden und eine passgenaue nicht rechteckige Kachel zu schaffen?
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