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Primzahlgeheimnisse (Sieben 2 )
 

  
 
  
 
 Christian Goldbach hat wohl als erster den Verdacht geäußert, dass man jede gerade Zahl ab 6 als Summe von zwei ungeraden Primzahlen schreiben kann. Diese Goldbachsche Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Jede gerade Zahl lässt sich schreiben als 2N. Nach Goldbach gibt es zu jeder Zahl 2N also zwei Primzahlen p und q mit 2N=p+q.

 
 Mit dem Sieb des Eratosthenes findet man für eine gegebene gerade Zahl 2N alle Darstellungen als Summe zweier Primzahlen:
 
  
Wieder
Zwei Mal Sieben
  • Zuerst werden alle Primzahlen kleiner als 2N ausgesiebt.
  • Dann wird das Sieb "rückwärts" angewendet:
    Wurde beim ersten Sieben die Zahl z gestrichen, streicht man jetzt die Zahl 2N-z.
    Analog zur 1 beim ersten Sieben muss dabei auch 2N-1 gestrichen werden.

 

Ergebnis
 Die verbleibenden Primzahlen liefern dann Summendarstellungen von 2N.
 

Beispiel: (2N=100)

Java-Applet nicht darstellbar
 
  
Weshalb funktioniert das Sieben?
Beim ersten Sieben bleiben alle Primzahlen p übrig.

Beim doppelten Sieben, bleiben also die Primzahlen q=2N-p übrig, deren Summe mit einer Primzahl 2N ergibt.

Wir haben also die Summendarstellungen 2N=p+q.

 
  
 
 Es besteht der begründete Verdacht, dass die Anzahl der verschiedenen Darstellungen einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen unbeschränkt wächst, wenn die gerade Zahl unbeschränkt wächst. Dies kann man noch nicht beweisen, obwohl Rechnungen mit dem Computer das immer wieder glaubhaft machen.
 
  
Verstanden?
 Wie lautet die kleinste gerade Zahl, für die es zwei verschiedene Darstellungen als Summe zweier Primzahlen gibt?
Antwort:
 
  
Verstanden?
 Gibt es Primzahlen, die sich als Summe zweier Primzahlen darstellen lassen?
Antwort:  ja  nein  

 
  
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