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Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Bayes-Formel 3)
 

 
 
Ein Test, der nichts taugt?







 

Auf der letzten Seite kamst du (hoffentlich) auf ein erstaunliches Ergebnis:

Ist das Testergebnis einer zufällig ausgewählten Person "Positiv", so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sie wirklich an dieser Allergie leidet, unter 5 Prozent. Und das, obwohl die hohe Wahrscheinlichkeit von 98 Prozent dafür, dass eine vorhandene Allergie auch angezeigt wird, auf einen sehr zuverlässigen Test schließen lässt.

Verständlich wird dieses Ergebnis, wenn man das Beispiel an konkreten Zahlen nachvollzieht. Geht man von 1.000.000 Personen aus, so ergeben sich folgende Zahlen:

  • 500 Personen (0.05%) sind allergisch gegen Ziegenhaare.
  • 999500 Personen (99.95%) sind nicht allergisch.
  • 10 Allergiker (2% von 500) erhalten das Testergebnis "Negativ".
   
  • 490 Allergiker (98% von 500) erhalten das Testergebnis "Positiv".
  • 989505 Gesunde (99% von 999500) erhalten das Testergebnis "Negativ".
   
  • 9995 Gesunde (1% von 999500) erhalten das Testergebnis "Positiv".
  • Insgesamt 10485 Personen erhalten also das Testergebnis "Positiv".
    Darunter sind aber nur 490, also nur etwa 4.7% (das Ergebnis der letzten Aufgabe), bei denen diese Diagnose zutrifft.


Durch die geringe Anzahl von Personen, die tatsächlich allergisch auf Ziegenhaare reagieren, wirkt sich der scheinbar kleine Anteil von Gesunden mit falschem Testergebnis so stark aus, das ein positives Testergebnis bei einer zufällig ausgewählten Person mit großer Wahrscheinlichkeit fehlerhaft ist. Ein negativ ausgefallener Test stimmt dagegen fast immer.

Auch wenn das Beispiel "Ziegenhaarallergie" frei erfunden ist, kommen ähnliche Zahlen in der Realität durchaus vor. Oft sind Tests dann nur innerhalb von Risikogruppen oder in Gegenden mit größerer Verbreitung der Krankheit aussagekräftig.

 
Wann "lohnt" sich ein Test ? Im folgenden Applet kannst du die genannten Parameter selbst einstellen und die Auswirkungen beobachten. Dabei hast du folgende Einstellmöglichkeiten:

  • Anteil infizierter Personen: prozentualer Anteil von infizierten Personen an der Gesamtbevölkerung
  • Zuverlässigkeit Positiv: Mit welcher Wahrscheinlichkeit (Prozentzahl) ist das Testergebnis bei zufällig ausgewählten infizierten Person "Positiv"
  • Zuverlässigkeit Negativ: Mit welcher Wahrscheinlichkeit (Prozentzahl) ist das Testergebnis bei einer zufällig ausgewählten nicht infizierten Person "Negativ"
Unten kannst du ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine "Positiv" getestete Person tatsächlich infiziert ist ("Krank?") beziehungsweise eine "Negativ" getestete Person tatsächlich gesund ist ("Gesund?"). Auch diese Angaben sind in Prozentzahlen, im Balkendiagramm veranschaulicht durch den grünen Bereich.



Tipp: Du kannst auch direkt Werte in die Eingabefelder eintragen und dabei feinere Abstufungen eingeben als über die Schieberegler. Möglich sind Werte von 0 bis 100, Nachkommastellen durch Punkt abgetrennt.
 
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