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Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Multiplikationssatz)
 

 
 
Jetzt die andere Richtung
 
Eine wichtige Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Und-Ereignisse, also das gleichzeitige Eintreten von zwei oder mehr Ereignissen. Durch Umstellen der Definitionsgleichung der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man den Multiplikationsatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
 
Multiplikationssatz
 
Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt:

 

 
Anmerkung: Dieser Satz (und die im weiteren vorgestellte allgemeine Form) wird in manchen Lehrbüchern auch Produktregel genannt.

Angewendet auf das Urnenbeispiel gilt damit



P(Rr)   = P(rP(r)   = 1·1/3   = 1/3            ,
P(Rg)   = P(gP(g)   = 1/2·1/3   = 1/6
P(Rb)   = P(bP(b)   = 1/2·1/3   = 1/6



Bei folgender Aufgabe kannst du diese Regel anwenden:
 
Zum Selberrechnen
Angenommen, du fährst am frühen Nachmittag mit dem Auto durch eine ruhige Wohnstraße. Um diese Tageszeit spielen viele Kinder im Freien, und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.01 (1%) rollt dir beim Durchfahren der Straße ein Ball vor das Auto. Da leider Kinder noch ein recht unvorsichtiges Verhalten im Straßenverkehr haben, achtet nur eins von Hundert beim Ballholen auf fahrende Autos.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit musst du für Ball und Kind bremsen ? Bitte gib das Ergebnis als Dezimalzahl an!

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:  
 
 


Brauchst du Hilfe ? Hier gibt es einen  Tipp und die   Lösung der Aufgabe.

 
Die erste Pfadregel
 
"Diese Rechnung kommt mir seltsam bekannt vor..." mag jetzt wohl mancher denken. Tatsächlich ist der Multiplikationssatz eigentlich nur eine algebraische Form der ersten Pfadregel, welche im Modul Genetik und Wahrscheinlichkeitsbäume erklärt ist.


Bei mehr als zwei Ereignissen lässt sich der Multiplikationssatz iterativ anwenden. Dieses Vorgehen ist im Folgenden für drei Ereignisse dargestellt:
 
Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten dreier Ereignisse \(A_{1}\), \(A_{2}\)und\(A_{3}\).
Man setze A:=\(A_{3}\) und B:=\(A_{2}\)\(A_{1}\)
... und wende die Produktregel für A und B an.
Der erste Faktor bleibt stehen...
...auf den zweiten kann erneut die Produktregel angewendet werden.
 

 
Die mehrmalige Anwendung für n Ereignisse liefert die allgemeine Produktregel:
 
allgemeiner Multiplikationssatz
 
 
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