Zur MathePrisma-Startseite
Zur Modul-Startseite  


Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Totale Wahrscheinlichkeit 1)
 

 
 
Jetzt die andere Richtung
 
Die Wahrscheinlichkeit für Oder-Ereignisse, also das "alternative Eintreten" von zwei oder mehr Ereignissen erhält man durch den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
 
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
 
Setzt sich das Ereignis A zusammen aus den sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen AB1 und AB2, so gilt

 

 
Angewendet auf das Urnenbeispiel gilt damit



P(Rr)  = P(rP(r)  = 1·1/3  = 1/3            ,
P(Rg)  = P(gP(g)  = 1/2·1/3  = 1/6
P(Rb)  = P(bP(b)  = 1/2·1/3  = 1/6

also P(A) = P(Ar) + P(Ag) + P(Ab) = 1/3+1/6+1/6 = 2/3



Für die Verallgemeinerung des Satzes benötigen wir die Definition der vollständigen Ereignisdisjunktion.
 
Vollständige Ereignisdisjunktion
 
Eine vollständigen Ereignisdisjunktion liegt vor, wenn wir den gesamten Ergebnisraum eines Zufallsexperiments in sich gegenseitig ausschließende Ereignisse zerlegen.
Jedes Elementarereignis ist in genau einem Ereignis der Zerlegung enthalten.
Die mathematisch korrekte Definition sieht wie folgt aus:

 

 
Beispiele für solche Zerlegungen sind die Einteilung nach Feldern gleicher Farbe beim Roulette oder einer Dartscheibe.

Mit einer solchen Zerlegung gewinnen wir eine neue Darstellung für ein beliebiges Ereignis A aus der gleichen Ergebnismenge:

Sei \(B_{1}\),\(B_{2}\),...,\(B_{n}\) eine vollständige Ereignisdisjunktion. Aus der Vollständigkeit der Zerlegung folgt, dass jedes Elementarereignis aus A in einem der \(B_{i}\) enthalten ist. Es gilt also:



Um die Wahrscheinlichkeit P(A) zu erhalten, können wir die Wahrscheinlichkeiten der an der Vereinigung beteiligten Und-Ereignisse aufaddieren. Weil die \(B_{i}\) paarweise disjunkt sind, zählen wir dabei kein Ereignis mehrfach.



Die Anwendung des Multiplikationssatzes auf jeden der Summanden liefert schließlich den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

 
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
 
 

 
Bei folgender Aufgabe kannst du diese Regel wieder selber anwenden:
 
Seite 4/9