Das Vierfarbenproblem

Jede mathematische Aussage ist falsch oder richtig. Eine Aussage über eine Menge von Objekten ist falsch, wenn sie für ein Objekt falsch ist. Ein solches Objekt nennt man Gegenbeispiel.

Beispiel 1: Färbungsproblem

Die Aussage:

"Man kann jede Karte mit nur drei Farben kolorieren."

ist falsch. Wir haben soeben eine Karte gesehen, für die man vier Farben benötigt.

Beispiel 2: Mersennesche Primzahlen

Für die Primzahlen p=2,3,5,7 ist $2^{p}-1$ wieder eine Primzahl.
Die Aussage:

"Ist p eine Primzahl, so ist $2^{p}-1$ auch eine Primzahl."

ist aber falsch. Ein Gegenbeispiel ist p=11.
Denn $2^{11}-1$ =2047 ist keine Primzahl, weil sich 2047 als das Produkt 23 $\cdot$ 89=2047 schreiben lässt.

a)	Welche der folgenden Karten lassen sich mit nur drei Farben kolorieren ?

b)	Kann man die Deutschlandkarte der Startseite mit nur drei Farben kolorieren ?

a)	Ordne folgenden Karten jeweils den entsprechenden Tachostand zu.
0 = grün 1 = blau 2 = rot 3 = gelb
b)	Welchen Färbungszustand beschreiben folgende Tachostände ?

c)	Wieviele Färbungszustände hat eine Karte mit zehn Ländern ?
d)	Wieviele Färbungszustände hat eine Karte mit zehn Ländern, wenn man sechs verschiedene Farben zuläßt ?

a)	Es gibt keine Frucht, die mit dem Buchstaben D beginnt.
b)	Der Term $\frac{1}{x^{2}-4}$ ist für alle reellen Zahlen x definiert.
c)	Für alle natürlichen Zahlen k ist $\displaystyle 2^{(2^k)} + 1$ eine Primzahl.
d)	Mädchen sind doof. (Schwierig)