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Ableitung

Ableitung

Regeln

Eigentlich ist das ja schon wieder Thema für ein eigenes Modul...

Manchmal sehen die Funktionsterme etwas komplizierter aus. Dann kommt man mit der "Faustregel" allein nicht weiter.

Drei Beispiele:

h(x) = 2x3 + 7x     (Summe zweier Potenzen)
h(x) = (x4 - 5) · (2x3 - 5x) (Produkt und Summe kombiniert)
h(x) = (2x3 + 7x)2 (Verkettete Funktionen)

Um derartige Funktionen ableiten zu können, gibt es die folgenden Regeln:

Übersicht

Ableitungsregeln

Es seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

Summenregel    \((f + g)^{\prime} = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)\)   
 
Produktregel \((f \cdot g)^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x)\)
 
Quotientenregel \(\displaystyle \Bigl(\frac {f}{g}\Bigr)^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x) - f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g^2(x)}\) \(g(x) \neq 0\)
 
Kettenregel \((g \circ f)^{\prime}(x) = \bigl(g(f(x))\bigr)^{\prime} = g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)\)
 
Reziprokregel \((f^{-1})^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}\) \(f^{\prime}(x) \neq 0\)

Hinweis

Hier gibt es die zugehörigen Sätze und Beweise.

Summenregel

Ein Beispiel zur Summenregel:

h(x) = 2x3 + 7x
= f(x) + g(x)  mit  f(x) = 2x3  und  f'(x) = 3 · 2x2 = 6x2
g(x) = 7x1 g'(x) = 1 · 7x0 = 7
h'(x) = f'(x)  + g'(x) 
= 6x2 + 7

Produktregel

Ein Beispiel zur Produktregel (und auch wieder Summenregel):

h(x) = (x4 - 5) · (2x3 - 5x)
= f(x) · g(x)  mit  f(x) = x4 - 5  und  f'(x) = 4x3
g(x) = 2x3 - 5x g'(x) = 6x2 - 5
h'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
= (4x3) · (2x3 - 5x) + (x4 - 5) · (6x2 - 5)

Kettenregel

Ein Beispiel zur Kettenregel (und auch wieder Summenregel):

h(x) = (2x3 + 7x)2
= f(g(x))  mit  f(x) = x2  und  f'(x) = 2x
g(x) = 2x3 + 7x g'(x) = 6x2 + 7
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
= 2(2x3 + 7x) · (6x2 + 7)

Übersicht

weitere Ableitungen

(sin x)' = cos x    für x \(\in \mathbb{R}\)    Beweis
 
(cos x)' = -sin x für x \(\in \mathbb{R}\) Beweis
 
(tan x)' = 1/cos2x für x \(x \in \mathbb{R} \setminus \lbrace \frac{\pi}{2} (2z+1) \;\mid\; z \in \mathbb{Z} \rbrace\) Beweis
 
(exp(x))' = (ex)' = ex für x \(\in \mathbb{R}\) Beweis
 
(ln x)' = 1/x für x \(\in \mathbb{R}^{>0}\) Beweis

Beobachte die verschiedenen Ableitungsfunktionen

Ausblick:

höhere Ableitungen

Ist die Ableitungsfunktion f' einer Funktion f wieder differenzierbar, so kann man die zweite Ableitungsfunktion \(f^{\prime\prime}:=(f^{\prime})^{\prime}\) bilden. Allgemein wird die n-te Ableitung \(f^{(n)}:=\bigl(f^{(n-1)}\bigr)^{\prime}\) rekursiv definiert.