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Ableitung

Ableitung

Beweise

Satz

Potenzregel

Die Potenzfunktion \(f(x) = x^n, \; x \in \mathbb{R}\) ist für jedes \(n \in \mathbb{Z} \setminus\){0} differenzierbar und es gilt:
\(f^{\prime}(x) = n \cdot x^{n-1}\)

Beweis

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x - x_0}\)

\(= \lim\limits_{x \to x_0} \bigl( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + x^{n-3}x_0^2+ ... + x\cdot x_0^{n-2} + x_0^{n-1} \bigr)\)

\(=\underbrace{x_0^{n-1} + x_0^{n-1} + x_0^{n-1} + ... + x_0^{n-1} + x_0^{n-1} + x_0^{n-1}}_{\text{n Summanden}}\)

\(= \underline{\underline{n \cdot x_0^{n-1}}}\)

Satz

Konstantenregel

Die Ableitung \(f^{\prime}\) der konstanten Funktion \(f : x \mapsto c, \; c \in \mathbb{R}\) ist die Nullfunktion. Es gilt:
\(f^{\prime}(x) = 0\)

Beweis

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{c - c}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{0}{x - x_0} = \underline{\underline{0}}\)

Satz

Faktorregel

Ist \(u\) eine in \(\mathbb{D}\) differenzierbare Funktion, so ist auch \(f(x) = c \cdot u(x)\) mit \(c \in \mathbb{R}\) differenzierbar und es gilt:
\(f^{\prime}(x) = c \cdot u^{\prime}(x)\) für alle \(x\) aus \(\mathbb{D}\).

Beweis

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{c \cdot u(x) - c \cdot u(x_0)}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \lim\limits_{x \to x_0} \bigl[ c \cdot \frac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} \bigr] = \lim\limits_{x \to x_0} c \cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \underline{ \underline{ c \cdot u^{\prime}(x_0)}}\)

Satz

Summenregel

Sind \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so ist auch \(f + g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und es gilt:
\((f + g)^{\prime}(x_0) = f^{\prime}(x_0) + g^{\prime}(x_0)\)

Beweis

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{(f + g)(x) - (f + g)(x_0)}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \lim\limits_{x \to x_0} \Bigl( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \Bigr)\)
\(\displaystyle = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \lim\limits_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \underline{\underline{f^{\prime}(x_0) + g^{\prime}(x_0)}}\)

Satz

Produktregel

Sind \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so ist auch \(f \cdot g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und es gilt:
\((f \cdot g)^{\prime}(x_0) = f^{\prime}(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g^{\prime}(x_0)\)

Beweis

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) \cdot g(x) - f(x_0) \cdot g(x) + f(x_0) \cdot g(x) - f(x_0) \cdot g(x_0)}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \lim\limits_{x \to x_0} \Bigl( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot g(x) + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \cdot f(x_0) \Bigr)\)
\(\displaystyle = \underline{\underline{f^{\prime}(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g^{\prime}(x_0)}}\)

Satz

Quotientenregel

Sind \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und ist \(g(x_0) \neq 0\), so ist auch \(\frac{f}{g}\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und es gilt:
\(\displaystyle \Bigl( \frac{f}{g} \Bigr)^{\prime}(x_0) = \frac{f^{\prime}(x_0) g(x_0) - f(x_0) g^{\prime}(x_0)}{g^2(x_0)}\)

Beweis

Sei    \(\frac{f}{g} = F\)
Dann ist \(f = g \cdot F\)
Aus Produktregel folgt: \(f^{\prime}(x_0) = g^{\prime}(x_0) \cdot F(x_0) + g(x_0) \cdot F^{\prime}(x_0)\)
Schließlich ist

\begin{align} F^{\prime}(x_0) &= \frac{f^{\prime}(x_0) - g^{\prime}(x_0) \frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{g(x_0)}\\ &= \underline{\underline{ \frac{f^{\prime}(x_0)g(x_0) - g^{\prime}(x_0)f(x_0)}{g^2(x_0)} }} \end{align}

Satz

Kettenregel

Ist \(g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und \(f\) an der Stelle \(g(x_0)\) differenzierbar, so ist auch die Verkettung \(f \circ g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und es gilt:
\((f \circ g)^{\prime}(x_0) = f^{\prime}(g(x_0)) \cdot g^{\prime}(x_0)\)

Beweis

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\)
\(\displaystyle = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\\ \)
\(\displaystyle = \underline{\underline{f^{\prime}(g(x_0)) \cdot g^{\prime}(x_0)}}\)

Satz

Reziprokregel

Ist \(f\) in einer Umgebung \(U\) von \(x_0\) differenzierbar und ist \(f^{\prime}(x) \neq 0\) für alle \(x \in U\), so ist \(f\) dort umkehrbar, d.h. es gibt eine Funktion \(f^{-1}\) mit \(f^{-1} \circ f = \) id (identische Funktion auf \(U\)) und \(f \circ f^{-1} =\) id (identische Funktion auf \(f(U)\)). Für \(y_0 = f(x_0)\) gilt:
\((f^{-1})^{\prime}(x_0) = \frac{1}{j^{\prime}(f^{-1}(x_0))}\)

Beweis

Es ist    \(\displaystyle f(f^{-1}(x_0)) = x_0\)
Aus Kettenregel folgt: \(\displaystyle f^{\prime}(f^{-1}(x_0)) \cdot (f^{-1}(x_0))^{\prime} = 1\)
und schließlich \(\displaystyle (f^{-1}(x_0))^{\prime} = \underline{\underline{\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x_0))}}}\)