Ableitung | MathePrisma

Das Aufwärmtraining

Aller Anfang ist schwer? Stimmt nicht!
Wir beginnen ganz leicht mit Altbekanntem.

Aufgabe 1

Steigung einer linearen Funktion

Aufgabe 2

Klicke auf das richtige Bild

Aufgabe 3

Bestimme die zugehörigen Funktionsterme!

Steigung einer beliebigen Funktion

Die Steigung einer beliebigen Funktion zwischen zwei Stellen x_o und x bestimmt man mit dem Differenzenquotienten $\frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0}$ .

Anschaulich

Definition

Differenzenquotientenfunktion

Man bezeichnet die Funktion $a_{x_0}(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$
als Differenzenquotientenfunktion.

Hat die Funktion $f$ die Definitionsmenge $\mathbb{D}(f)$ , so hat die Funktion $a_{x_0}$ die Definitionsmenge $\mathbb{D}(f) \setminus$ { $x_0$ }.

geometrische Bedeutung: Sekantensteigung

Steigung der Sekanten durch den Graphen der Funktion $f$ an den Stellen $x_0$ und $x$ .

Beispiel bzw. Aufgabe:

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .