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Symmetriewunder


Die Clematis gibt es in den seltener vorkommenden Ausführungen 4-6-8		Stinkender Storchschnabel: Die 5er-Symmetrie ist bei den Wildblumen vorherrschend.

Storchschnabel idealisiert, Ausgangsbild

Die 10 Deckabbildungen einer idealisierten Storchschnabelblüte bilden zusammen mit der Hintereinanderausführung dieser Abbildungen mathematisch gesehen eine endliche Gruppe $(G,\circ)$ . Diese Gruppe nennt man Deckabbildungsgruppe oder Symmetriegruppe der Figur, ebenfalls bekannt als Diedergruppe $D_{5}$ .

Dreht man die Blüte mit $\alpha=n \cdot \frac{360}{5}$ °, $n=0 ... 4$ um das Zentrum, verändert sich die Gestalt nicht ( $d_0, ..., d_4$ anwenden).
Spiegelt man die Figur an einer der eingezeichneten Achsen, erscheint das Bild ebenfalls unverändert ( $s_0, ..., s_4$ anwenden).

Definition

Eine Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe, wenn für alle Elemente $a,b \in G$ auch die Verknüpfung $a\circ b$ zu $G$ gehört und die folgenden Eigenschaften gelten:

Es gilt das Assoziativgesetz für je drei Elemente aus $G$ : $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ .
Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ , so dass $a\circ e=a$ und $e\circ a=a$ für alle $a\in G$ .
Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{-1}\in G$ mit der Eigenschaft $a^{-1}\circ a=e$ .

Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz, also $a\circ b = b \circ a$ für alle Elemente aus $G$ , dann nennt man $(G,\circ)$ eine kommutative oder abelsche Gruppe.

Man beachte, dass $a\circ b$ die Reihenfolge zuerst $b$ und dann $a$ bedeutet.

Erkenntnisse

Das neutrale Element $e$ in der Gruppe der Deckabbildungen der idealisierten Storchschnabelblüte ist die Deckabbildung $d_0$ .

Die Hintereinanderausführung zweier Deckabbildungen ist wieder eine der aufgeführten Deckabbildungen.

Du kannst selbst prüfen, ob die anderen Bedingungen erfüllt sind. Ein paar Beispiele:

Inverses Element zu $d_1$ ist das Element $d_4$ , denn $d_4(d_1(F))=d_1(d_4(F)=F$ , also die Hintereinanderausführung einer 288°-Drehung und einer 72°-Drehung der Blüte ergibt wieder die Ausgangsfigur $F$ .
Jede der Spiegelungen $s_i$ ist zu sich selbst invers, denn die Spiegelung der Spiegelung an derselben Achse ergibt wieder das Ausgangsbild $(s_i\circ s_i=e=d_0)$ .
Die Verknüpfung zweier unterschiedlicher Spiegelungen ergibt eine Drehung.
Die Verknüpfung einer Spiegelung mit einer Drehung ergibt eine Spiegelung und solche Verknüpfungen sind i.A. nicht kommutativ. Führt man sie in umgekehrter Reihenfolge aus, ist das Ergebnis nicht immer dasselbe.

Daraus kann man schließen:

Symmetriegruppe

Die Menge der Deckabbildungen einer Figur $F$ bildet zusammen mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe, genannt die Deckabbildungs- oder Symmetriegruppe der Figur $F$ .