Craps | MathePrisma

Übergänge vom Zustand 2
"4 oder 10"

Befindet sich der Spieler nach dem ersten Wurf im Zustand $\mathrm{Z_2}$ ("4 oder 10"), so gibt es drei Möglichkeiten in einen anderen Zustand zu wechseln:

Er würfelt die Augenzahl aus dem ersten Wurf erneut und gewinnt,
oder er würfelt eine "7" und verliert damit
oder er verweilt ansonsten in diesem Zustand.

Ein Übergang aus dem Zustand $\mathrm{Z_2}$ in den Zustand $\mathrm{Z_3}$ oder $\mathrm{Z_4}$ ist also nicht möglich. Deshalb gilt:
$\mathrm{p_{32}} = \mathrm{p_{42}} = 0$

Zustand vorher

Zustand
nachher

	1	2	3	4	5
1	1	p₁₂	p₁₃	p₁₄	0
2	0	p₂₂	p₂₃	p₂₄	0
3	0	0	p₃₃	p₃₄	0
4	0	0	p₄₃	p₄₄	0
5	0	p₅₂	p₅₃	p₅₄	1

Um zu gewinnen, muss der Spieler (abhängig von seinem ersten Wurf) entweder die Augensumme "4" oder die Augensumme "10" werfen, um in den Zustand 1 ("gewonnen") überzugehen.

Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Wurf ist $\mathrm{p_{12}}= 3/36 = 1/12$ .
Bei einer "7" verliert er. Das passiert mit der Wahrscheinlichkeit $\mathrm{p_{52}} = 6/36 = 1/6$ .

Zustand vorher

Zustand
nachher

	1	2	3	4	5
1	1	1/12	p₁₃	p₁₄	0
2	0	p₂₂	p₂₃	p₂₄	0
3	0	0	p₃₃	p₃₄	0
4	0	0	p₄₃	p₄₄	0
5	0	1/6	p₅₃	p₅₄	1

Es fehlt also noch die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{p_{22}}$ für das Verweilen im Zustand $\mathrm{Z_2}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler durch Würfeln einen beliebigen anderen Zustand erreicht oder im gleichen Zustand bleibt, ist gleich 1, denn eine dritte Möglichkeit gibt es nun einmal nicht. Daher kann man die folgende Regel aufstellen: