Zufallszahlen | MathePrisma

Folgerung

Die Folge $(\alpha n)_{n\ge 1}$ ist gleichverteilt modulo 1.

Eine Person mit irrationaler Schrittlänge $\alpha$ wird also bei $N$ Schritten ungefähr $d\cdot N$ mal in ein Loch der Breite $d$ auf einem Kreis mit Umfang $1$ treten.

Ein Zahlenbeispiel

Wir betrachten die Folge $(\sqrt{2}n)_{n\ge 1}$ . Das Einheitsintervall wird in fünf gleichlange Teilintervalle geteilt. Für jedes solche Teilintervall

$\begin{equation*} \bigg[\frac{i}{5},\frac{i+1}{5}\bigg), \quad 0\le i\le 4, \end{equation*}$

stellen wir die relative Anzahl

$\begin{equation*} a(i,N) := \frac{1}{N}\,\,\# \biggl\lbrace 1\le n\le N\,\Big|\, {\sqrt{2}n}\in \Big[\frac{i}{5},\frac{i+1}{5}\Big) \biggr\rbrace \end{equation*}$

durch die Höhe eines Balkens über diesem Intervall dar. Hier ist ein Beispiel für $N=5$ :

Für kleine Werte von $N$ werden diese Balken völlig unterschiedliche Höhen haben. Je größer $N$ wird, desto näher werden die Balkenhöhen bei $1/5$ liegen.