Zufallszahlen | MathePrisma

Beispiele

Diese Folgen sind ebenfalls gleichverteilt modulo $1$ :

$(\alpha n^k)_{n\ge 1}$ mit irrationalem $\alpha$ und $k\in\mathbb{N}$ ([19], Chapter 1, Thm. 3.2)
$(\alpha p)_{p\in \mathbb{P}}$ mit irrationalem $\alpha$ und $p$ durchläuft die Primzahlen (ebd., Notes to Section 2)
$(n\log n)_{n\ge 1}$ (ebd., Example 2.8)

Diese Beispiele erfordern tiefliegende Methoden aus der Theorie der Exponentialsummen.

Verallgemeinerung

Das letzte Beispiel ist ein Spezialfall der folgenden allgemeinen Situation: Für eine Funktion $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ wird nach der Gleichverteilung der Folge $(f(n))_{n\ge 1}$ gefragt. Dabei soll ausgenutzt werden, dass $f$ eben nicht nur auf den natürlichen Zahlen definiert ist, sondern auch dazwischen. Der folgende Satz von van der Corput garantiert die Gleichverteilung dieser Folge unter gewissen analytischen Voraussetzungen an $f$ ([19], Chapter 1, Corollary 2.1):

Satz

Sei $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ differenzierbar. Wenn $f'(x)$ monoton gegen $0$ konvergiert für $x\to\infty$ und wenn $\lim_{x\to\infty}x|f'(x)|=\infty$ , dann ist die Folge $(f(n))_{n\ge 1}$ gleichverteilt modulo $1$ .

Demo

Hier ist eine Demonstration, die die Gleichverteilung für die Funktion

$\begin{equation*} f(x)=\frac{x}{\log x}, \quad x\in[2,\infty) \end{equation*}$

zeigt.

Experimente

Die Funktionsweise des Programms ist die gleiche wie bei den Vielfachen von $\sqrt{2}$ . Man beachte aber, daß sich hier noch Abweichungen der Balkenhöhe von $1/5$ ergeben, wenn dort schon längst keine mehr zu sehen sind.