Zufallszahlen | MathePrisma

Demo

Vergleichen wir einmal die beiden Folgen $(\sqrt{2}n)_{n\ge 1}$ und $(n\log n)_{n\ge 1}$ .

Es scheint, daß die erste Folge der Gleichverteilung viel schneller entgegengeht als die zweite.

Definition

Zur quantitativen Erfassung dieses Phänomens führt man den Begriff der Diskrepanz der N ersten Glieder einer Folge $(x_n)_{n\ge 1}$ ein:

$\begin{equation*} D_N^\ast(x_1,...,x_N):= \sup_{0\le b\le 1}\bigg|\frac{1}{N}\,\, \#\biggl\lbrace 1 \le n \le N\,\Big| \,{x_n} \in [0,b)\biggr\rbrace -b\,\bigg| \end{equation*}$

Deutung

Diese Zahl ist ein Maß dafür, wie weit die durch $x_1,...,x_N$ gegebene empirische Verteilung von der Gleichverteilung auf $[0,1]$ entfernt ist.

Das Diagramm zeigt den Graphen der Zählfunktion (rot) und der Identität (blau). Die beiden grünen Linien bilden einen Streifen um die blaue Linie, der den roten Graphen gerade enthält. Die Diskrepanz $D_N^\ast$ ist der größere der beiden Abstände zwischen blauer Linie und den grünen Linien.