Zufallszahlen | MathePrisma

Das Weyl-Kriterium stellt einen qualitativen Zusammenhang zwischen Gleichverteilung und der Größenordnung gewisser Exponentialsummen her. Die folgende Ungleichung von Erdös und Turan gibt eine quantitative Verschärfung dieser Beziehung an. Durch sie wird die Diskrepanz mittels Exponentialsummen explizit abgeschätzt ([19], Chapter 2, Theorem 2.5):

Kriterium

Für alle natürlichen Zahlen $H$ und $N$ gilt

$\begin{equation*} D_N^\ast \ll \frac{1}{H}+\sum\limits_{h=1}^H \frac{1}{h} \left|\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^Ne^{2\pi ihx_n}\right| . \end{equation*}$

Wird $H$ hier zunächst sehr groß gewählt, so ist der erste Term klein. Für dieses feste $H$ kommen im zweiten Term $H$ Exponentialsummen vor, die alle gegen $0$ konvergieren, wenn die Folge gleichverteilt ist. Je größer man $H$ macht, desto kleiner wird der erste Term, aber umso mehr Exponentialsummen sind im zweiten Term zu berücksichtigen. In der Praxis wird man deshalb versuchen, $H$ in Abhängikeit von $N$ möglichst optimal zu wählen.

Beispiel

Für die Folge $(n\log n)_{n\ge 1}$ ergibt sich auf diese Weise

$\begin{equation} \label{11} D_N^\ast \ll_\epsilon N^{-1/5+\epsilon} \end{equation}$

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für jedes $\epsilon>0$ ([19], Chapter 2, Exercise 3.20).