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Zusammenhang mit Gleichverteilung

Unter Verwendung der Ungleichung von Erdös-Turan kann folgender Satz bewiesen werden ([19], Chapter 2, Thm. 3.2 und 3.3):

Satz

Hat $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ den endlichen Typ $\eta$ , so gilt für jedes $\epsilon>0$

$\begin{equation} \label{12} D_N^\ast \ll_\epsilon N^{-1/\eta+\epsilon} , \quad D_N^\ast = \Omega(N^{-1/\eta-\epsilon}) . \end{equation}$

(5)

Deutung

Wir wollen die Aussage des Satzes griffiger formulieren. Logarithmiert man in der ersten Abschätzung (5) beide Seiten und tut das Gleiche mit der unteren Abschätzung (3), so folgt nach Division durch $\log N$

$\begin{equation*} -1+O\left(\frac{1}{\log N}\right) \le \frac{\log D_N^\ast}{\log N} \le -\frac{1}{\eta} + \epsilon + O\epsilon\left(\frac{1}{\log N}\right) \end{equation*}$

und damit

$\begin{equation*} -1 \le \liminf_{N\to\infty}\frac{\log D_N^\ast}{\log N} \le \limsup_{N\to\infty}\frac{\log D_N^\ast}{\log N}\le -\frac{1}{\eta}+\epsilon . \end{equation*}$

Da das für alle $\epsilon>0$ gilt, folgt

$\begin{equation*} -1 \le \liminf_{N\to\infty}\frac{\log D_N^\ast}{\log N} \le \limsup_{N\to\infty}\frac{\log D_N^\ast}{\log N}\le -\frac{1}{\eta} . \end{equation*}$

Die $\Omega$ -Abschätzung in (5) besagt, daß die letzte Ungleichung in dieser Kette tatsächlich eine Gleichung ist.

Fazit

Der Quotient $\log D_N^\ast/\log N$ wird also im Wesentlichen zwischen $-1$ und $-1/\eta$ schwanken, wobei er der letzeren Zahl immer wieder beliebig nahe kommt. Insgesamt kann man also sagen, daß die arithmetische Natur von $\alpha$ direkt die Güte der Gleichverteilung von $(\alpha n)_{n\ge 1}$ bestimmt.