Zufallszahlen | MathePrisma

Der Test

Für den Spektraltest ([7], Section 5; [17], Chapter 3, Section 3.4) überdeckt man das Gitter mit parallelen äquidistanten Hyperebenen und ermittelt für jede solche Überdeckung den Abstand $d$ benachbarter Hyperebenen. Sei $d^\ast$ das Maximum all dieser Abstände. Dann ist

$\begin{equation*} \nu_s := \frac{1}{d^\ast} \end{equation*}$

die Prüfgröße des Spektraltests.

Je größer $\nu_s$ ist, desto kleiner ist $d^\ast$ , was bedeutet, daß in der Dimension $s$ die Verteilung der Tupel umso ''kleinmaschiger`` und damit gleichmäßiger ist.

Kriterium

Ein Pseudo-Zufallszahlen-Generator passiert den Spektraltest, wenn $\nu_s$ für hinreichend viele $s\ge 2$ ''groß genug`` ist.

Demo

Demonstration

Problematik

In dieser unpräzisen Formulierung drückt sich das Hauptproblem des Spektraltests aus. Es ist bis jetzt nicht gelungen, theoretische Voraussagen über die prinzipiell erreichbare Güte zu machen, d.h. wie groß $\nu_s$ für gegebenes $s$ bei variablem $\lambda$ , $m$ und $r$ maximal werden kann. Schon gar nichts weiß man darüber, wie optimale Generatoren konstruiert werden können.

Der Spektraltest ist deshalb vor allem gut, um zwischen verschiedenen Generatoren zu unterscheiden. In dieser Hinsicht ähnelt er den empirischen Tests. Im Gegensatz zu diesen kann seine Prüfgröße mathematisch präzise gedeutet werden. Ihr Zusammenhang mit der eher wahrscheinlichkeitstheoretisch definierten Größe Diskrepanz ist bis jetzt unverstanden.