Fraktale und Chaosspiel

rückgekoppelte Zahlen

Es sei $f$ eine Funktion mit einem Definitionsbereich $D$ und $x_1 \in D$ . Mit dem Startwert $x_1$ können wir eine Folge von Zahlen ${x_1, x_2, x_3, ...}$ bilden, indem wir - sofern die Ergebnisse $f(x_i)$ auch zu $D$ gehören - das letzte Ergebnis immer wieder in die Funktion $f$ einsetzen:

$x_2=f(x_1),\quad x_3=f(x_2),\quad x_4=f(x_3),\quad \text{usw.}$

Einfache Rückkopplung

In der Regeltechnik kennt man Rückkopplungssysteme, bei denen eine Ausgangsgröße auf den Systemeingang zurückgeführt wird und auf diese Weise wiederum die folgenden Ausgangsgrößen beeinflusst. Kombinieren wir beide Begriffe in einem Schaubild:

Die gesamte Anlage nennen wir kurz Rückkopplung, und einen Verarbeitungsschritt nennen wir eine Iteration.

In der Schule wird manchmal die Quadratwurzel einer reellen Zahl nach dem Heron-Verfahren berechnet. Die Iterationsformel dafür lautet

$x_{n+1}=f(x_n)=\frac 12\left(x_n+\frac{z}{x_n}\right)$

Heron-Wurzelautomat

Als Startwert ist $x_1=2$ voreingestellt. Zu Beginn ist $z=8$ die Konstante in der Formel, also die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll.

Betätige den Knopf "Iteration" und beobachte, was passiert. Führe solange Iterationen aus, bis die Zahlen in Ein- und Ausgang übereinstimmen und sich nichts mehr ändert. "Reset" setzt Ein- und Ausgang der Maschine auf die Startwerte zurück.

Startwert: Radikand:

Führe weitere Experimente durch:

Wiederhole die Rückkopplung mit unterschiedlichen Startwerten. Wähle auch andere Radikanden $z$ .

Welche Aussagen kannst du zum Verhalten der Maschine machen?

Mögliche Ergebnisse

Sind Startwert und Radikand größer als 0, berechnet die Maschine die Wurzel aus z.

Der Startwert 0 führt zu einem nicht definierten Ergebnis.

Bei negativen Radikanden gibt es schwankende Ergebnisse.

Bei negativen Startwerten aber positiven Radikanden gibt es stabile negative Ergebnisse.

Hast du selbst weitere Feststellungen getroffen?

Das Experiment gibt Anlass, einen weiteren wichtigen Begriff herauszustellen:

Definition

Eine Zahl $x$ mit $f (x) = x$ heißt Fixpunkt der Rückkopplung, d.h. eine Iteration mit Eingangswert x führt wieder zur Ausgabe x.

Wenn wir unsere Rückkopplungsmaschine mit positivem Startwert x und positivem Radikanden z verwenden, sind die berechneten Wurzelwerte demnach Fixpunkte der Funktion $f$ mit $\displaystyle f(x)=\frac 12\left(x+\frac{z}{x}\right)$ .

Jetzt verlassen wir wieder die Welt der reinen Zahlen und kehren zurück zur Geometrie.