Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Auf diesem Nebenpfad sollen die hergeleiteten Formeln

$\sum_{k=h}^n B(n;p_u;k) = \frac{\alpha}{2}\;,\;\;\sum_{k=0}^h B(n;p_o;k) = \frac{\alpha}{2}$

zur Bestimmung der Intervallgrenzen $p_u$ und $p_o$ approximiert werden.

Approximation der Binomialverteilung

Nach dem Satz von Moivre-Laplace kann die Binomialverteilung für $\sigma$ > 3 durch die Normalverteilung approximiert werden:
$B(n;p;k) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{k-\mu}{\sigma})^2}$ , mit $\mu = np, \; \sigma=\sqrt{np(1-p)}$

Für die Verteilungsfunktion folgt dann:

$\sum \limits_{k=0}^{b}B(n;p;k) \approx \int_{-\infty}^{b + \frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{k-\mu}{\sigma})^2}dk$
Die Erhöhung der Variablen b um 0,5 ergibt sich durch den Übergang von der Summe zum Integral. Bei der Approximation der diskreten Verteilung durch eine stetige Verteilung bezeichnet man die Transformation von b zu b+0,5 als Stetigkeitskorrektur. Durch Bewegen des Mauszeigers auf das folgende Bild kannst du diesen Übergang erkennen.

Stetigkeitskorrektur

Ein wenig Analysis

En bekanntes Integral

Das Integral sollte dir bekannt vorkommen. Es handelt sich dabei um das Gauß-Integral $\Phi(x)$ - die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (Gauß'sche Glockenkurve).

Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung lässt sich gemäß
$\sum \limits_{k=0}^b B(n;p;k) \approx \Phi(\frac{b+\frac{1}{2} - \mu}{\sigma})$ , mit $\Phi(x)\;=\; \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} t^2}dt$
durch die Normalverteilung approximieren.

Wir benötigen auch die folgende Binomialsumme:

Eine weitere Binomialsumme

Fazit

Zur Approximation der Binomialverteilung wird also nur noch $\Phi(x)$ benötigt.

Anwendung auf Konfidenzintervalle

Unter Verwendung der gerade hergeleiteten Approximationsformeln
$\sum \limits_{k=0}^a B(n;p;k) \approx \Phi(\frac{a+\frac{1}{2} - \mu}{\sigma})$
$\sum \limits_{k=b}^n B(n;p;k) \approx 1 - \Phi(\frac{b - \frac{1}{2} - \mu}{\sigma})$
mit $\mu = np$ sollen nun die Intervallgrenzen von

$[n \cdot p_u; \; n \cdot p_o ]$

bestimmt werden. Die Standardabweichung der Binomialverteilung
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$
wird geschätzt, indem man für den unbekannten Wert p die relative Trefferanzahl der Stichprobe $\frac{h}{n}$ einsetzt. Durch die Symmetrie der Normalverteilung ist folgende Definition naheliegend:

$d:= h - n \cdot p_u = n \cdot p_o - h$

Damit hat das Konfidenzintervall also eine Länge von 2d und lautet

$[h-d ; \; h+d]$ .

Da beide Intervallgrenzen voneinander abhängig sind, kann man die beiden Formeln zur Bestimmung der Intervallgrenzen zusammenfassen. Dann ist die folgende Gleichung zu approximieren:
$1 - \sum \limits_{k=h}^n B(n;p_u;k) - \sum \limits_{k=0}^h B(n;p_o;k) = 1 - \alpha$

Ein wenig Analysis ...

Ein kleiner Tipp

Eine gute Näherung

Oft ist der Stichprobenumfang n ausreichend groß, so dass man die Stetigkeitskorrektur vernachlässigen kann.

Das Konfidenzintevall

Das Konfidenzintervall [h-d ; h+d] für $\mu = np$ besitzt die Konfidenzwahrscheinlichkeit
$1 - \alpha = P(\mu \in [h-d;\; h+d]) \approx 2 \Phi(\frac{d}{\sigma}) - 1$