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Krümmung von Trassen

Krümmung von Trassen

Herleitung der Formel für die Krümmung eines Funktionsgraphen

Tangente an einen Graphen

Um die Tangente t mit der Gleichung y = mx + b an den Graphen von f in einem Punkt \(P(x_{0}|f(x_{0}))\) zu berechnen, müssen m und b so bestimmt werden, dass

  • die Funktionswerte und
  • die Steigungen
an der Stelle \(x_{0}\) übereinstimmen.

Schmiegkreis an einen Graphen

In Analogie zu der obenstehenden Überlegung muss man jetzt den Kreis k mit der Gleichung \((x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}\) so bestimmen, dass

  • die Funktionswerte
  • die erste Ableitung und auch
  • die zweite Ableitung
ebenfalls dort übereinstimmen.

zugehörige Rechenschritte

Für \(y\geq y_{m}\) lässt sich die Kreisgleichung zu \((1) y = \sqrt{r^{2}-(x-x_{m})^{2}} + y_{m}\) umformen. Mit Hilfe der Ketten- und Quotientenregel erhält man

\((2) y' = -\frac{x-x_{m}}{\sqrt{r^{2}-(x-x_{m})^{2}}}\) und

\((3) y''=-\frac{r^{2}}{(\sqrt{r^{2}-(x-x_{m})}^{2})^{3}}\) .

Benutzung des Einsetzungsverfahrens

Beide Gleichungen enthalten als eine Unbekannte den Krümmungsradius r. Also bietet es sich an, mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens \(r^{2}\) gemäß \((x-x_{m})^{2}+(y-y_{m}^{2})=r^{2}\) zu eliminieren. Damit erhält man

\((2') y' = -\frac{x-x_{m}}{\sqrt{(y-y_{m})^{2}}}=-\frac{x-x_{m}}{y-y_{m}}\Rightarrow x-x_{m}=-y'\cdot (y-y_{m})\) und

\((3') y''=-\frac{(x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}}{(y-y_{m})^{3}}\).

Setzt man nun (2') in (3') ein, so ergibt sich

\((3') y''=-\frac{y'^{2}\cdot(y-y_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}}{(y-y_{m})^{3}}=-\frac{y^{2}+1}{y-y_{m}}\).

Löst man dies nach \(y_{m}\) auf, so ergibt sich für die y-Koordinate des Mittelpunktes des Schmiegkreises

\(y_{m}=y+\frac{1+y'^{2}}{y''}=f(x_{0})+\frac{1+f'(x_{})}{f''(x_{0})}\).

x-Koordinate des Mittelpunkts

Die x-Koordinate des Mittelpunktes berechnet man mit Hilfe von (2'). Es ergibt sich

\(x_{m}=x+y'\cdot (y-y_{m})\).

\(y-y_{m}\) kann man gemäß (3'') durch \(-\frac{y'^{2}+1}{y''}\) ersetzen und erhält so

\(x_{m}=x+y'\cdot (-\frac{1+y'^{2}}{y''})\).

Weil diese Gleichung für alle x, y des Kreises gilt, gilt sie auch für den Punkt \(P(x_{0}|f(x_{0}))\).

Dies liefert \(x_{m}=x_{0}-f'(x_{0})\cdot \frac{1+f'(x_{0})^{2}}{f''(x_{0})}\).

Radius des Schmiegkreises

Zum Schluss muss noch der Radius des Schmiegkreises berechnet werden. Es gilt

\(r=\sqrt{(x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}}\).

Ersetzt man \((x-x_{m})^{2}\) gemäß (2'' ), so ergibt sich

\(r=\sqrt{y'^{2}\cdot(y-y_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}}=|y-y_{m}|\cdot \sqrt{y'^{2}+1}\).

\(y-y_{m}\) lässt sich auch hier gemäß 3'' substituieren:

\(r=|\frac{y'^{2}+1}{y''}|\cdot \sqrt{y'^{2}+1}=\frac{(\sqrt{y'^{2}+1})^{3}}{|y''|}=\frac{\sqrt{f'(x_{0})^2+1}^{3}}{|f''(x_{0})|}\)

Damit stehen alle Werte für den Schmiegkreis und seine Krümmung zur Verfügung.

Zusammenfassung

Gegeben ist eine zweimal differenzierbare Funktion f. Dann ist

\(k(f,x_{0})=\frac{f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^2)^{\frac{3}{2}}}\)

die Krümmung von f im Punkt \(P(x_{0}|f(x_{0}))\).