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Taylor-Polynom

Wir haben gesehen, daß für ein Polynom $f(x)$ vom Grad $n$ gilt

$\begin{equation} \label{1} f(x) = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots + \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i + \cdots + f(0) . \end{equation}$

(1)

Ist $f(x)$ kein Polynom, sondern eine beliebige Funktion, die auf einer Umgebung von 0 definiert und dort beliebig oft differenzierbar ist, dann kann man für jedes $n$ das rechts in (1) stehende Polynom bilden. Aber im Allgemeinen wird es nicht $f(x)$ darstellen. Man kann aber hoffen, daß es die Funktion approximiert. Deshalb schreiben wir

$\begin{equation*} f(x) = f(0) + \cdots + \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x) . \end{equation*}$

Das Polynom $T_n(x)$ auf der rechten Seite heißt das n-te Taylor-Polynom von $f(x)$ , und $R_n(x)$ der n-te Taylor-Rest von $f(x)$ an der Stelle $x$ .

Taylor-Reihe

Für manche Funktionen $f(x)$ kann man nachweisen, daß bei festem $x$ der Taylor-Rest gegen 0 konvergiert, wenn $n$ gegen unendlich konvergiert (Herleitung). Das kann man dann durch die Gleichung

$\begin{equation*} f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \end{equation*}$

ausdrücken. Die rechts stehende Reihe heißt Taylor-Reihe der Funktion $f(x)$ (Biographisches zu Taylor).

In dieser Demonstration (Java2 erforderlich) können Sie eine Funktion eingeben und die Ordnung des Taylor-Polynoms, das gezeichnet werden soll. In einer Tabelle werden die Werte der Funktion und des Taylor-Polynoms an einzelnen Stellen eines Intervalls aufgelistet. Das Intervall und die Schrittweite sind frei wählbar.

Achtung: Aufgrund von Rundungsfehlern tritt ab einem gewissen Grad des Taylorpolynoms eine Abnahme der Approximationsgüte auf. Ausserdem sind bei manchen Funktionen die höheren Ableitungen so kompliziert, daß es zu einem internen Speicherüberlauf kommt.