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Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Satz

Die Funktion $f(x)$ sei auf dem Intervall $[a,b]$ $n$ -mal stetig differenzierbar. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} f(b) &=& f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1} \\ && + \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \int_a^b f^{(n)}(t)\,(t-b)^{n-1}\,dt . \end{eqnarray*}$

Beweis

durch vollständige Induktion. Für $n=1$ lautet die Behauptung

$\begin{equation*} f(b) = f(a) + \int_a^b f'(t)\,dt . \end{equation*}$

Das ist aber gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Sei jetzt $n\ge 1$ und die Behauptung dafür schon bewiesen. Wir wenden auf das Integral partielle Integration an und erhalten

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f^{(n)}(t)\,(t-b)^{n-1}\,dt &=& f^{(n)}(t) \frac{1}{n} (t-b)^n \Big|_a^b - \int_a^b f^{(n+1)}(t) \frac{1}{n} (t-b)^n \, dt \\ &=& -f^{(n)}(a) \frac{1}{n} (a-b)^n - \frac{1}{n} \int_a^b f^{(n+1)}(t) (t-b)^n \, dt . \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Behauptung für $n$ ergibt die Behauptung für $n+1$ .

Ein Beispiel

Wir wenden den Satz auf $f(x)=e^x$ an. Ersetzt man $n$ durch $n+1$ und setzt $b=x$ , $a=0$ , so ergibt sich

$\begin{align*} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x), \\ R_n(x) &= \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^x e^t(t-x)^n \,dt, \end{align*}$

da alle Ableitungen der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ergeben. Für $x>0$ ist die Exponentialfunktion auf dem Intervall $[0,x]$ durch $M=e^x$ beschränkt, da sie monoton wächst. Für $x<0$ is $M=1$ eine obere Schranke auf dem Intervall $[x,0]$ . In jedem Fall hat der Betrag des Integranden die obere Schranke $M|x|^n$ und damit gilt

$\begin{equation*} |R_n(x)| \le \frac{1}{n!} |x| M |x|^n = q_n. \end{equation*}$

Die Folge der Zahlen $q_n$ konvergiert gegen $0$ . Denn es gilt

$\begin{equation*} \frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{|x|}{n+1} \le \frac{1}{2} \end{equation*}$

für hinreichend großes $n$ , etwa für $n\ge n_0$ . Damit ist

$\begin{equation*} q_{n+1} = \frac{q_{n+1}}{q_n}\frac{q_n}{q_{n-1}} \cdots \frac{q_{n_0+1}}{q_{n_0}}q_{n_0} \le \frac{1}{2^{n-n_0+1}} q_{n_0} . \end{equation*}$

Da die links stehenden Zahlen alle $\ge 0$ sind und die rechts stehenden gegen $0$ konvergieren, ist $\lim_{n\to\infty}q_n=0$ . Damit ist aber auch $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$ .