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Erstes Taylor-Polynom

Man erkennt an den Beispielen, daß der Graph des ersten Taylor-Polynoms die Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt $(0,f(0))$ ist. Das gilt allgemein, denn das erste Taylor-Polynom ist

$\begin{equation*} T_1(x) = f(0)+f'(0)x , \end{equation*}$

also ist der Graph von $T_1(x)$ eine Gerade durch den Punkt

$\begin{equation*} (0,T(0)) = (0,f(0)) \end{equation*}$

mit Steigung

$\begin{equation*} T_1'(0) = f'(0) . \end{equation*}$

Zweites Taylor-Polynom

Das zweite Taylor-Polynom lautet

$\begin{equation*} T_2(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2 . \end{equation*}$

Sein Graph ist eine Parabel durch den Punkt $(0,f(0))$ . Wegen $T_1'(0)=f'(0)$ berührt die Parabel den Graphen von $f(x)$ in diesem Punkt. Wir wollen jetzt $R_2(x)$ abschätzen. Dazu fixieren wir $x>0$ nahe 0 und berechnen das folgende Integral durch zweimalige partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_0^x f'''(t)(x-t)^2\,dt &=& f''(t)\frac{1}{2}(x-t)^2\Big|_0^x + \int_0^x f''(t)(x-t)\,dt \\ &=& -\frac{f''(0)}{2}x^2 + f'(t)(x-t)\Big|_0^x + \int_0^x f'(t)\,dt \\ &=& -\frac{f''(0)}{2}x^2 - f'(0)x + f(x) - f(0) \\ &=& R_2(x) . \end{eqnarray*}$

Mit dieser Integraldarstellung des Fehlerterms kann man die Geschwindigkeit abschätzen, mit der $R_2(x)=f(x)-T_2(x)$ gegen 0 konvergiert, wenn x gegen 0 geht. Ist die dritte Ableitung $|f'''(t)|$ bei 0 durch $C_3>0$ beschränkt, so gilt

$\begin{equation} \label{200} |R_2(x)| = \Big| \frac{1}{2}\int_0^x f'''(t)(x-t)^2\,dt \Big| \le C_3 \int_0^x \frac{1}{2} (x-t)^2 dt = \frac{C_3}{6} x^3 . \end{equation}$

(2)

Würde man das Gleiche für $R_1(x)$ machen, so ergäbe sich

$\begin{equation*} |R_1(x)| \le \frac{C_2}{2} x^2 , \end{equation*}$

wenn $C_2>0$ eine Schranke für $f''(t)$ ist. Da $x^3$ nahe 0 viel flacher verläuft als $x^2$ (Demonstration), schmiegt sich das zweite Taylor-Polynom $T_2(x)$ viel besser an $f(x)$ als das erste Taylor-Polynom $T_1(x)$ .

Berühr-Ordnung

Man sagt, daß sich die Funktionen $f(x)$ und $T_1(x)$ im Punkt $(0,f(0))$ von erster Ordnung berühren, da ihre 0-ten und 1-ten Ableitungen in 0 übereinstimmen. Ferner berühren sich $f(x)$ und $T_2(x)$ in $(0,f(0))$ von zweiter Ordnung, da ihre 0-ten, 1-ten und 2-ten Ableitungen übereinstimmen. Je höher die Berührordnung ist, desto besser wird im Allgemeinen die Approximation der einen Funktion durch die andere nahe des Berührpunkts sein.