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Satz

Die Funktion $f(x)$ sei auf dem Intervall $[a,b]$ zweimal stetig differenzierbar. Für die Stelle $c\in(a,b)$ gelte $f''(c)\neq0$ . Läßt man zwei Punkte auf dem Graphen von $f(x)$ gegen den Punkt $(c,f(c))$ konvergieren, so konvergiert der durch diese drei Punkte bestimmte Kreis gegen den Krümmungskreis an den Graphen von $f(x)$ in $(c,f(c))$ . Dieser hat den Radius

$\begin{equation*} r = \frac{(1+f'(c)^2)^{3/2}}{|f''(c)|} \end{equation*}$

und den Mittelpunkt $(x_M,y_M)$ mit

$\begin{equation*} x_M = c-f'(c)\frac{1+f'(c)^2}{f''(c)} , \quad y_M = f(c) + \frac{1+f'(c)^2}{f''(c)} . \end{equation*}$

Der Mittelpunkt liegt auf der Normalen auf den Graphen von $f(x)$ in $(c,f(c))$ und auf der Seite der Tangente, zu der sich der Graph hin krümmt. Der Krümmungskreis berührt den Graphen in $(c,f(c))$ .

Beweis

Die Konvergenzaussage soll nicht bewiesen werden. Wir wollen hier nur unter Voraussetzung der Konvergenz den Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises berechnen. Seien also $P'=(x',f(x'))$ und $P''=(x'',f(x''))$ zwei Punkte auf dem Graphen, die gegen $P=(c,f(c))$ konvergieren. Sei $(x_{P',P''},y_{P',P''})$ der Mittelpunkt und $r_{P',P''}$ der Radius des Kreises durch $P, P'$ und $P''$ .

Wir betrachten die Funktion

$\begin{equation*} h_{P',P''}(x) = (x-x_{P',P''})^2+(f(x)-y_{P',P''})^2 - r_{P',P''}^2 . \end{equation*}$

Da $P, P'$ und $P''$ vom Kreismittelpunkt den Abstand $r_{P',P''}$ haben, gilt

$\begin{equation} \label{10} h_{P',P''} (c) = h_{P',P''} (x') = h_{P',P''} (x'') = 0 . \end{equation}$

(3)

Schreibt man diese drei Gleichungen aus, so kann man sie nach $x_{P',P''}$ , $y_{P',P''}$ und $r_{P',P''}$ lösen. Der Grenzübergang $P'\to P$ und $P''\to P$ ist dann aber keineswegs einfach durchzuführen. Weil wir aber die Konvergenz des Mittelpunktes und Radius schon vorausgesetzt haben, können wir einfacher vorgehen.

Nach dem Satz von Rolle gibt es Stellen $x_1$ und $x_2$ zwischen $x'$ und $c$ sowie $x''$ und $c$ mit

$\begin{equation} \label{11} h_{P',P''}' (x_1) = h_{P',P''}' (x_2) = 0 . \end{equation}$

(4)

Eine erneute Anwendung des Satzes von Rolle liefert die Existenz einer Stelle $x_3$ zwischen $x_1$ und $x_2$ mit

$\begin{equation} \label{12} h_{P',P''}'' (x_3) = 0 . \end{equation}$

(5)

Ausgeschrieben lauten die jeweils ersten Gleichungen in (3), (4) und (5)

$\begin{align*} (c-x_{P',P''})^2+(f(c)-y_{P',P''})^2 - r_{P',P''}^2 &= 0 ,\\ 2\,(x_1-x_{P',P''}) + 2\,f'(x_1)\,(f(x_1)-y_{P',P''}) &= 0 , \\ 2+2\,f''(x_3)\,(f(x_3)-y_{P',P''}) + 2\,f'(x_3)^2 &= 0 . \end{align*}$

Läßt man $P'$ und $P''$ gegen $P$ streben, so gilt $x_1\to c$ und $x_3\to c$ und nach Annahme $x_{P',P''}\to x_M$ , $y_{P',P''}\to y_M$ sowie $r_{P',P''}\to r_M$ . Die drei Gleichungen gehen damit über in

$\begin{align*} (c-x_M)^2+(f(c)-y_M)^2 - r_M^2 &= 0 ,\\ 2\,(c-x_M) + 2\,f'(c)\,(f(c)-y_M) &= 0 ,\\ 2+2\,f''(c)\,(f(c)-y_M) + 2\,f'(c)^2 &= 0 . \end{align*}$

Die Formel für $y_M$ ergibt sich durch Auflösen der letzten Gleichung. Aus der mittleren Gleichung ergibt sich $x_M$ , wenn man das Ergebnis für $y_M$ einsetzt. Schließlich erhält man $r_M$ aus der ersten Gleichung.

Der Vektor

$\begin{equation*} {1\choose f'(c)} \end{equation*}$

weist in Richtung der Tangente an den Graphen im Punkt $P$ . Der Vektor

$\begin{equation} \label{5} {x_M-c\choose y_M-f(c)} = {-f'(c)\choose1}\cdot \frac{1+f'(c)^2}{f''(c)} \end{equation}$

(6)

weist vom Punkt $P$ zum Punkt $(x_M,y_M)$ . Das Skalarprodukt beider Vektoren ist

$\begin{equation*} (1\cdot(-f'(c))+f'(c)\cdot1)\frac{1+f'(c)^2}{f''(c)} = 0 . \end{equation*}$

Also liegt $(x_M,y_M)$ auf der Normalen auf den Graphen in $P$ .

Da der Krümmungskreis außerdem durch $P$ geht, berührt er automatisch den Graphen in $P$ .

Ist $f''(c)>0$ , so hat gemäß (6) der Vektor von $P$ zum Mittelpunkt des Krümmungskreises die gleiche Richtung wie der Vektor

$\begin{equation*} {-f'(c)\choose1}. \end{equation*}$

Das ist aber der nach oben weisende Normalenvektor auf den Graphen in $P$ . Ferner ist wegen $f''(c)>0$ der Graph in einer Umgebung von $P$ konvex, d.h. er krümmt sich nach oben.

Ist $f''(c)<0$ , so weist der Vektor von $P$ zum Krümmungskreismittelpunkt in entgegengesetzte Richtung wie der Normalenvektor, und der Graph krümmt sich nach unten.