Kurven | MathePrisma

Satz

Sei $f(x)$ dreimal differenzierbar auf dem Intervall $[a,b]$ und $f''(x)$ habe dort keine Nullstelle. Dann ist in jedem Punkt $P$ auf dem Graphen von $f(x)$ die Normale gleichzeitig Tangente an die Evolute des Graphen im Krümmungsmittelpunkt des Graphen zum Punkt $P$ .

Beweis

Wir wissen bereits, daß der Krümmungsmittelpunkt des Graphen zum Punkt $P=(x,f(x))$ durch

$\begin{equation*} x_M = x-f'(x)\frac{1+f'(x)^2}{f''(x)} , \quad y_M = f(x) + \frac{1+f'(x)^2}{f''(x)} . \end{equation*}$

gegeben ist und auf der Normalen im Punkt $P$ liegt. Also müssen wir nur noch zeigen, daß die Tangente an die Evolute in $(x_M, y_M)$ die gleiche Richtung hat wie die Normale auf den Graphen.

Die Ableitungen der Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes nach $x$ sind

$\begin{align*} x_M' &= 1-f''(x)\frac{1+f'(x)^2}{f''(x)}-f'(x)g'(x) \\ &= -f'(x)^2-f'(x)g'(x) , \\ y_M' &= f'(x) + g'(x) , \end{align*}$

wobei wir zur Abkürzung

$\begin{equation*} g(x) = \frac{1+f'(x)^2}{f''(x)} \end{equation*}$

gesetzt haben. Also gilt $x_M' = -f'(x) y_M'$ und damit

$\begin{equation*} {x_M'\choose y_M'} = y_M' {-f'(x)\choose 1} . \end{equation*}$

Der Vektor auf der linken Seite zeigt in Richtung der Tangente an die Evolute in $(x_M,y_M)$ , und der Vektor auf der rechten Seite zeigt in Richtung der Normale auf den Graphen in $P$ .