Bisher waren die Interpolationspunkte beliebig in der Ebene gewählt. Was passiert, wenn wir sie auf dem Graphen einer fest vorgegebenen Funktion wählen? Bewegen Sie zwei der drei Punkte auf den dritten zu und beobachten Sie, wie die Parabel durch die drei Punkte gegen eine Grenzlage konvergiert.
Das gilt unter geeigneten Differenzierbarkeits-Voraussetzungen immer, und die Grenzparabel ist der Graph des zweiten Taylor-Polynoms der Funktion im festgehaltenen Punkt:
Satz
Sei 
auf ![\([a,b]\)](img123.gif){kind=small}
dreimal stetig differenzierbar und 
.
Für genügend kleines 
betrachten wir das Interpolationspolynom vom Grad
durch die Punkte 
, 
und
. Dann konvergiert dieses Polynom für 
gegen
das Taylorpolynom zweiten Grades von in 
(Herleitung).
