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Riemann-Summen

Sei $f(x)$ eine Funktion auf dem Intervall $[a,b]$ . Wir betrachten eine Intervallzerlegung

$\begin{equation*} \mathfrak{z}:\, a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b \end{equation*}$

und Zwischenstellen

$\begin{equation*} \xi_i \in [x_{i-1},x_i] , \quad 1\le i\le n . \end{equation*}$

Die maximale Teilintervallänge $F(\mathfrak{z})$ heißt die Feinheit von $\mathfrak{z}$ . Die zugehörige Riemannsumme von $f(x)$ ist definiert durch

$\begin{equation*} R = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) . \end{equation*}$

Geometrisch ist $R$ also die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke über den Teilintervallen der Zerlegung $\mathfrak{z}$ , deren Höhen durch den Wert der Funktion $f(x)$ an den zugehörigen Zwischenstellen gegeben ist. Negative Werte bewirken, daß der Flächeninhalt negativ gerechnet wird. Im obigen Bild ist $\xi_i$ stets der linke Endpunkt des Intervalls $[x_{i-1},x_i]$ .