Bernhard Riemann

Geboren: 17.9.1826 in Breselenz, Herzogtum Hannover
Gestorben: 20.7.1866 in Selasca, Italien

Bernhard Riemann war das zweitälteste von sechs Kindern, von denen alle bis auf eine Schwester jung starben. Bis zu seinem zehnten Lebensjahr wurde er von seinem Vater unterrichtet, danach von einem Lehrer einer benachbarten Schule. Mit 14 Jahren trat er in die dritte Klasse des Gymnasiums ein. Er war ein guter, aber nicht herausragender Schüler und arbeitete hart auf den klassischen Gebieten wie Hebräisch und Theologie. Besonderes Interesse zeigte er für Mathematik.

1846 immatrikulierte er sich an der Universität Göttingen in Theologie. Kurz darauf wechselte er zur Mathematik und hörte Vorlesungen bei Moritz Stern und Carl Friedrich Gauss. Zu dieser Zeit war Göttingen in mathematischer Hinsicht keine gute Adresse. Gauss gab nur elementare Vorlesungen und scheint zu dieser Zeit Riemann Genie nicht erkannt zu haben. Stern erkannte jedoch seine herausragenden Fähigkeiten.

1847 ging Riemann nach Berlin, um bei Steiner, Jacobi, Dirichlet und Eisenstein zu studieren. Er lernte viel von Eisenstein, insbesondere die Verwendung komplexer Variabler in der Theorie der elliptischen Funktionen. Dirichlet hatte jedoch den größten Einfluß auf ihn, da sich ihre Denkweisen sehr ähnelten. Dirichlet machte sich die Dinge immer an Hand einer intuitiven Beschreibung klar, bevor er eine rigorose Analyse durchführte. Lange Rechnungen vermied er soweit wie möglich. Riemanns Arbeiten beruhten immer auf intuitiven Argumenten und entbehrten oft der Strenge, um ihre Argumente wasserdicht zu machen. Dadurch erscheinen seine brillianten Ideen umso klarer. Während seiner Zeit in Berlin arbeitete Riemann seine allgemeine Theorie komplexer Funktionen aus, die die Grundlage einiger seiner wichtigsten Arbeiten bildet.

1849 kehrte Riemann nach Göttingen zurück. Er reichte seine Dissertation unter Gauss 1851 ein. Neben Gauss übte der Physiker Weber großen Einfluß auf Riemann aus und er wurde sein Assistent für 18 Monate. Durch Weber und Listing erwarb er sich gründliches Hintergrundwissen in Physik und von letzterem darüberhinaus wichtige topologische Ideen, die seine bahnbrechenden Forschungen beeinflußten.

In seiner Doktorarbeit führte Riemann die heute so benannten Riemannschen Flächen in die Funktionentheorie ein. Dadurch machte er sie topologischen Methoden zugänglich. Er baute dabei auf Cauchys Grundlagen der Funktionentheorie auf und verwendete Puiseuxs Ideen über Verzweigungspunkte. Die Arbeit ist von hoher Originalität und untersucht geometrische Eigenschaften analytischer Funktionen, konforme Abbildungen und Zusammenhangseigenschaften von Flächen. Riemann benutzte dabei an einigen Stellen das später von ihm so genannte Dirichlet-Prinzip.

Auf Gauss Empfehlung hin erhielt Riemann eine Stelle in Göttingen, um an seiner Habilitations-Schrift zu arbeiten. Er behandelte darin die Darstellbarkeit von Funktionen durch trigonometrische Reihen. Bis dahin hatte man stets vesucht, geeignete Voraussetzungen an eine Funktion zu finden, aus der ihre Darstellbarkeit durch eine trigonometrische Reihe folgt. Riemann nahm umgekehrt diese Darstellbarkeit an und untersuchte, welche Eigenschaften der Funktion daraus folgen. An dieser Stelle gab Riemann auch die präzise Definition der (Riemann-)Integrierbarkeit einer Funktion.

Als Teil seiner Habilitation bereitete Riemann drei Vorlesungen vor, zwei über Elektrizität und eine über Geometrie. Entgegen seinen Erwartungen wählte Gauss die letztere, die den Titel trägt ''Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen''. Sie wurde zu einem mathematischen Klassiker. Im ersten Teil stellte er sich das Problem, einen n-dimensionalen Raum zu definieren, und gelangte zum Begriff der heute so genannten Riemannschen Mannigfaltigkeit. Auf ihr existieren kürzesten Linien, die den Geraden des euklidischen Raums entsprechen. Lokal sieht sie in erster Näherung aus wie der gewöhnliche euklidische Raum. Lebewesen auf ihr können die Krümmung messen durch Abweichungen vom Satz des Pythagoras. Das wichtigste Resultat des ersten Teils von Riemanns Vorlesung ist die Definition des Krümmungstensors. Im zweiten Teil stellte er tiefe Fragen über die Beziehung zwischen der Geometrie und der Welt, in der wir leben. Er fragte nach der Dimension des physikalischen Raums und welche Geometrie ihn beschriebt. Die Vorlesung war ihrer Zeit weit voraus und wurde von den meisten Wissenschaftlern seiner Zeit nicht gewürdigt. Lediglich Gauss erkannte die Tiefe von Riemanns Ideen. Erst 60 Jahre später konnte man die Bedeutung von Riemanns Ideen ermessen, als Einstein in ihnen das Werkzeug zur Formulierung seiner allgemeinenen Relativitätstheorie fand.

Nach Gauss Tod 1855 erhielt Dirichlet dessen Lehrstuhl. 1857 erhielt Riemann eine Professur in Göttingen. Im gleichen Jahr erschien ein weiteres Meisterwerk, die Arbeit''`Theorie der abelschen Funktionen''. Er hatte diese neuen Resultate zuvor in einer Vorlesungsreihe für drei Hörer dargestellt, unter denen sich Dedekind befand. Dieser veröffentlichte Ausarbeitungen nach Riemanns frühzeitigem Tod und machte so die Schönheit der Vorlesungen der Nachwelt zugänglich. Riemann knüpft darin an seine Doktorarbeit an und untersucht mehrwertige Funktionen, die auf einer speziellen Riemannschen Fläche einwertig sind. Er löst allgemeine Inversions-Probleme, die für elliptische Funktionen bereits von Abel und Jacobi behandelt wurden.

Auch Weierstrass arbeitete an derartigen Problemen. Er zeigte, daß das Dirichlet-Prinzip in der von Riemann verwendeten Form Probleme bereitet. Die Mehrzahl der Mathematiker verwarf daraufhin Riemanns Methoden und versuchte, seine Ergebnisse auf anderem Wege zu beweisen. Er selbst sah im Dirichlet-Prinzip nur ein praktisches Werkzeug, das gerade zur Hand war, und hielt an der Gültigkeit seiner Ergebnisse fest. Durch die Suche nach alternativen Beweisen wurde eine Vielzahl neuer Entdeckungen stimuliert, und Hilbert konnte 1901 eine einwandfreie Formulierung des Dirichlet-Prinzips geben, die nachträglich auch Riemanns Methode rechtfertigte.

1858 besuchten Betti, Casorati und Brioschi Göttingen und Riemann diskutierte mit ihnen seine Ideen zur Topologie.

1859 starb Dirichlet und Riemann erhielt den mathematischen Lehrstuhl in Göttingen. Kurz darauf wurde er auf Empfehlung von Kummer, Borchardt und Weierstrass zum Mitglied der Berliner Akademie der Wissenschaften gewählt. Als neu gewähltes Mitglied hatte Riemann über seine jüngsten Ergebnisse zu berichten. Er reichte die Arbeit ''Über die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Größe'' ein, die einen fundamentalen Einfluß auf die Entwicklung der Zahlentheorie haben sollte. Riemann untersuchte darin die Zetafunktion

die schon von Euler behandelt wurde. Die Summe erstreckt sich dabei über alle natürlichen Zahlen, und das Produkt über alle Primzahlen. Im Gegensatz zu Euler läßt Riemann komplexe Werte für zu. Er setzt diese Funktion über ihren Definitionsbereich hinaus fort und beweist eine Funktionalgleichung. Darüberhinaus stellt er eine Reihe von Vermutungen auf, von denen alle bis auf eine in der Folgezeit bewiesen werden konnten. Diese sogenannte Riemannsche Vermutung ist bis heute unbewiesen und stellt eines der tiefsten Probleme der Mathematik dar.

Riemann heiratete 1962. Im gleichen Jahr zog er sich eine schwere Erkältung zu, die zu Tuberkulose führte. Er war nie von guter Gesundheit und versuchte, durch mehrere Reisen nach Italien die Krankheit zu bekämpfen. Er starb 1866 in Italien.

Literatur: [3]