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Unbestimmtes Integral

Durch Integrieren wird einer Funktion und einem Intervall eine Zahl zugeordnet. Um diese Operation mit der Differentiation in Verbindung zu bringen, müssen wir als Ergebnis des Integrierens aber eine Funktion erhalten. Die Idee besteht darin, die untere Intervallgrenze $a$ und die Funktion $f(x)$ festzuhalten und das Riemannintegral als Funktion der oberen Grenze $b$ aufzufassen:

$\begin{equation} \label{204} t \mapsto \int_a^t f(x)\,dx \end{equation}$

(10)

Riemannsummen

Wir wenden diese Idee zunächst auf spezielle Riemannsummen an. Dazu teilen wir das Intervall $[a,b]$ in $n$ gleichlange Teilintervalle auf und wählen als Zwischenstellen immer die linken Endpunkte der Teilintervalle. Die zugehörige Riemannsumme ist dann

$\begin{equation*} R_a^b(f,n) = \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\Big(a+(i-1)\frac{b-a}{n}\Big) . \end{equation*}$

Da das Integral der Grenzwert dieser Riemannsummen für $n\to \infty$ ist, ist der Graph der Funktion

$\begin{equation} \label{205} t \mapsto R_a^t(f,n) \end{equation}$

(11)

eine Approximation an den Graphen von (10). Im Folgenden wollen wir diese Funktion Riemannsummenfunktion nennen.

Wir betrachten das Beispiel $\cos(x)$ . Da das graue Rechteck die Höhe $R$ hat, durchläuft sein rechter oberer Eckpunkt den Graphen der Riemannsummenfunktion , wenn man den rechten Endpunkt bewegt. Bewegt man den linken Endpunkt, so erkennt man, daß der Graph stets durch den Punkt $(a,0)$ geht. Das ist klar, da die Riemannsummenfunktion für $t=a$ den Wert $0$ hat.