Kurven | MathePrisma

Die erste Ableitung enthält Information über Tangentensteigungen, Extremstellen und Monotonie des Graphen einer Funktion.

Eingabe

Geben Sie hier eine Funktion ein (z.B. ''sin(x)'' oder ''x^3-x'') und drücken Sie ''Setzen'':

Auf dem Plotter wird der Graph der Funktion

\[x^3-x\]

in rot und ihrer Ableitung

\[3x^2-1\]

in blau dargestellt.

Steigung

Ist die Funktion $f(x)$ differenzierbar, so wird die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ im Punkt $(x_0,f(x_0))$ durch die Ableitung $f'(x_0)$ gegeben.

Tangente ein aus

Die horizontale Kathete des Steigungsdreiecks hat die Länge 1. Deshalb hat die vertikale (violette) Kathete als Länge die Steigung der Tangente, also $f'(x_0)$ . Die beiden violetten Strecken sind also stets gleichlang, egal, wohin der Berührungspunkt der Tangente verschoben wird.

Eine erste Anwendung der Ableitung betrifft die Monotonie.

Monotonie-Kriterium

Die Funktion $f(x)$ sei auf dem Intervall $I$ differenzierbar. Sie ist genau dann auf $I$ monoton wachsend, wenn $f'(x)\ge 0$ auf $I$ gilt. Die Funktion ist genau dann auf $I$ monoton fallend, wenn $f'(x)\le 0$ auf $I$ gilt.

Der Beweis verwendet den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.