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Kritische Punkte

Die Nullstellen der Ableitung $f'(x)$ heißen die kritischen Punkte der Funktion $f(x)$ . An diesen Stellen hat der Funktions-Graph eine horizontale Tangente, und sie sind deshalb Kandidaten für lokale Extremstellen.

Beispiel

Betrachten wir den Graphen der Funktion $f(x)=2(x^5-x^3)$ . Ihre Ableitung ist $f'(x)=2(5x^4-3x^2)$ . Die Nullstellen der Ableitung finden wir durch Lösen der folgenden Gleichung:

$\begin{align*} f'(x) = 0 \quad & \Leftrightarrow \quad 2(5x^2-3)x^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow \quad 5x^2-3 = 0 \quad \vee \quad x^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow \quad x=\pm\sqrt{3/5} \quad \vee \quad x=0 \end{align*}$

Das kann man graphisch verifizieren: Der Graph der Ableitung schneidet die x-Achse an den Stellen $0$ und $\pm\sqrt{3/5}$ .

Vergrößern Sie den Graphen der Ableitung in der Nähe der positiven Nullstelle, indem Sie mit der linken Maustaste um die Nullstelle ein Rechteck aufziehen und danach die Taste loslassen. Durch mehrfache Wiederholung kann so der Wert der Nullstelle geschätzt werden. Vergleichen Sie die Schätzung und den exakten Wert $\sqrt{3/5}$ mit Hilfe eines Taschenrechners.

Monotonie

Die Funktion $f(x)$ habe eine stetige Ableitung. Auf den Intervallen zwischen den kritischen Stellen hat die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel und die Funktion ist deshalb dort monoton (siehe Monotonie-Kriterium).

Die folgende Tabelle gibt das Verhalten von Ableitung und Funktion für unser Beispiel an:

Intervall	Ableitung	Funktion
$(-\infty,-\sqrt{3/5})$	positiv	wachsend
$(-\sqrt{3/5},0)$	negativ	fallend
$(0,\sqrt{3/5})$	negativ	fallend
$(\sqrt{3/5},\infty)$	positiv	wachsend