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Maximum-Kriterium

Eine kritische Stelle $x_0$ der differenzierbaren Funktion $f(x)$ ist eine lokale Maximalstelle, wenn die Ableitung $f'(x)$ in einer linksseitigen Umgebung von $x_0$ nicht-negativ und in einer rechtsseitigen Umgebung von $x_0$ nicht-positiv ist.

Denn dann ist die Funktion $f(x)$ selbst links nahe bei $x_0$ monoton wachsend und rechts nahe bei $x_0$ monoton fallend (man beachte das Monotonie-Kriterium). Ebenso begründet man:

Minimum-Kriterium

Eine kritische Stelle $x_0$ der differenzierbaren Funktion $f(x)$ ist eine lokale Minimalstelle, wenn die Ableitung $f'(x)$ in einer linksseitigen Umgebung von $x_0$ nicht-positiv und in einer rechtsseitigen Umgebung von $x_0$ nicht-negativ ist.

Beispiel

Da die Ableitung von $f(x)=2(x^5-x^3)$ bei $x_0=-\sqrt{3/5}$ einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative hat, ist diese Stelle eine lokale Maximalstelle. Bei $x_0=\sqrt{3/5}$ wechselt die Ableitung vom Negativen ins Positive und somit ist diese Stelle eine lokale Minimalstelle.

Bei $x_0=0$ liegt eine wesentlich andere Situation vor.

Sattelpunkt-Kriterium

Eine kritische Stelle $x_0$ der differenzierbaren Funktion $f(x)$ ist ein Sattelpunkt, wenn die Ableitung in einer Umgebung von $x_0$ keinen Vorzeichenwechsel hat.

Denn in dieser Umgebung ist dann stets $f(x)\ge 0$ oder stets $f(x)\le 0$ und damit ist die Funktion dort monoton wachsend oder monoton fallend.

Beispiel

Bei $x_0=0$ hat die Funktion $f(x)=2(x^5-x^3)$ also einen Sattelpunkt.

Hier können Sie selbst Funktionen eingeben und auf ihre Monotonie-Eigenschaften untersuchen:

Vorschläge