Kurven | MathePrisma

Konvexitäts-Kriterium

Die differenzierbare Funktion $f(x)$ ist auf dem Intervall $I$ genau dann konvex, wenn ihre Ableitung auf diesem Intervall monoton wächst. Sie ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung monoton fällt.

Beweis

Nur für Konvexität.

Sei zunächst $f'(x)$ monoton wachsend. Wir wählen beliebige Stellen $x_1,x_2\in I$ mit $x_1<x_2$ . Um zu zeigen, daß die Sehne von $(x_1,f(x_1))$ nach $(x_2,f(x_2))$ oberhalb des Graphen von $f(x)$ liegt, wählen wir eine beliebige Stelle $x_1<a<x_2$ und zeigen, daß der Punkt $(a,f(a))$ unterhalb der Sehne liegt.

Dazu brauchen wir nur zu zeigen, daß die Steigung $m_1$ der Sehne von $(x_1,f(x_1))$ nach $(a,f(a))$ kleiner ist als die Steigung $m_2$ der Sehne von $(a,f(a))$ nach $(x_2,f(x_2))$ . Um die Ableitung ins Spiel zu bringen, wenden wir den Mittelwertsatz an. Er besagt, daß es Stellen $x_1<b_1<a$ und $a<b_2<x_2$ gibt mit

$\begin{equation*} f'(b_1) = m_1 , \quad f'(b_2)=m_2 . \end{equation*}$

Wegen $b_1<a<b_2$ ist $f'(b_1)\le f'(b_2)$ und damit $m_1\le m_2$ , was zu zeigen war.

In dieser Demonstration sind die drei grünen Punkte beweglich. Die beiden roten Punkte auf dem Graphen werden stets so berechnet, daß die zugehörigen Tangenten (rot) parallel zu den Sehnen zwischen dem ersten und zweiten und dem zweiten und dritten grünen Punkt sind. Da die erste Tangente immer eine kleinere Steigung als die zweite Tangente hat, gilt das Gleiche für die Sehnen. Sie können also nur unterhalb der Sehne zwischen dem ersten und dritten Punkt liegen.

Jetzt sei $f(x)$ konvex. Wir wählen beliebige Stellen $x_1, x_2\in I$ mit $x_1<x_2$ . Um zu zeigen, daß die Steigung der Tangente in $(x_1,f(x_1))$ kleiner ist als die Steigung der Tangente in $(x_2,f(x_2))$ , vergleichen wir beide mit der Steigung der Sehne zwischen den beiden Punkten.

Dazu sei $x_1<a<x_2$ eine beliebige Stelle. Da der Punkt $(a,f(a))$ unterhalb der Sehne zwischen $(x_1,f(x_1))$ und $(x_2,f(x_2))$ liegt, gilt für die Steigungen der Sehne und der Sekanten

$\begin{equation*} \frac{f(a)-f(x_1)}{a-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(a)}{x_2-a} . \end{equation*}$

Jetzt betrachten wir die erste Ungleichung und lassen $a$ gegen $x_1$ konvergieren. Dann konvergiert der linke Quotient gegen $f'(x_1)$ . Der mittlere Quotient bleibt konstant. Die Ungleichung bleibt für die Grenzwerte erhalten, d.h.

$\begin{equation*} f'(x_1) \le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} . \end{equation*}$

Genauso können wir die zweite Ungleichung betrachten und $a$ gegen $x_2$ konvergieren lassen. Das ergibt

$\begin{equation*} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le f'(x_2). \end{equation*}$

Beide Ungleichungen zusammen ergeben $f'(x_1)\le f'(x_2)$ .

In dieser Demonstration sind die drei grünen Punkte beweglich. Links oben werden die Steigungen der zwei Sekanten und der zwei Tangenten angezeigt. Bewegt man $a$ auf $x_1$ zu, so nähert sich die zughörige Sekante der Tangente in $x_1$ . Da die rechte Hälfte der Sekante stets unterhalb der Sehne zwischen linkem und rechtem Punkt liegt, gilt das Gleiche für die Tangente. Ebenso kann man $a$ auf $x_2$ zubewegen und sieht so, daß der linke Teil der Tangente in $x_2$ unterhalb der Sehne liegt.