Zahl Pi XXL | MathePrisma

Genauigkeit

Die Vielecke im $n$ -ten Schritt haben $N=3\cdot2^n$ Ecken. Mit der Fehlerabschätzung (5) ergibt sich also für die Archimedes-Methode

$\begin{equation} \label{12} 0 < \frac{1}{2}(A_n-B_n) < \frac{32}{N^2} = \frac{32}{9}4^{-n} . \end{equation}$

(26)

Vergleich

Diese Fehlerabschätzung kann direkt mit (1) verglichen werden. Hat $n$ bei der Rechteck- und der Archimedes-Methode den gleichen Wert, so müssen in beiden Verfahren $n$ Quadratwurzeln berechnet werden (das ist bei weitem die aufwendigste Operation). Da (26) sehr viel kleiner als (1) wird, wenn $n$ wächst, ist die Methode von Archimedes sehr viel besser.

Geschwindigkeit

Erhöht man $n$ um fünf, so wird (26) durch $4^5=1024$ geteilt und man gewinnt drei Dezimalstellen Genauigkeit. Auf einem PC können so leicht 500 Dezimalstellen von $\pi$ berechnet werden.