Zahl Pi XXL | MathePrisma

Archimedes

Die Methode von Archimedes wurde bis ins 17. Jahrhundert hinein für Berechnungen von $\pi$ verwendet. Archimedes selbst verwendete regelmäßige 96-Ecke ( $n=5$ ) und erhielt

$\begin{equation*} 3.1408 ... = 3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7} = 3.1428 ... \end{equation*}$

(siehe [1]). Dieses Ergebnis ist fast so gut wie unsere Abschätzung

$\begin{equation*} 3.1410... = \frac{1}{2}B_5 < \pi < \frac{1}{2}A_5 = 3.1427... . \end{equation*}$

Das kann mit dem Demoprogramm leicht berechnet werden, da $A_n/2$ direkt ausgedruckt und der Fehler $(A_n-B_n)/2$ ebenfalls angegeben wird. Da Archimedes von Hand rechnete, hat er zur Vereinfachung gerundet.

Van Ceulen

Einen großen Teil seiner Lebenszeit verwendete Van Ceulen, um $\pi$ mit der archimedischen Methode erst auf 20 Stellen (1596) und dann auf 35 Stellen genau zu berechnen (1615). Wählen wir $n=59$ (das entspricht Vielecken mit $3\cdot 2^{59} \approx 1.73\cdot10^{18}$ Ecken), so liefert das Demo-Programm nach etwa vier Sekunden

$\begin{equation*} A_n = 3.141592653589793238462643383279502885... \end{equation*}$

bei einem Fehler von $\approx 1.29\cdot 10^{-36}$ , d.h. die ersten 35 Nachkommastellen sind korrekt.