Zahl Pi XXL | MathePrisma

Umformulierung

Damit entspricht dem Werfen der Nadel das zufällige Auswählen eines Punktes $P$ (mit Koordinaten $\phi$ und $y$ ) in einem Rechteck der Breite $\pi$ und Höhe 1 (Animation). Die Nadel schneidet die obere Kante des Streifens genau dann wenn $y>1-\sin\phi$ .

Wahrscheinlichkeit

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $A_2=\pi$ . Der Flächeninhalt des Teils oberhalb des Graphen von $1-\sin\phi$ ist

$\begin{equation*} A_1 = \int_0^\pi ( 1 - ( 1-\sin\phi) )\,d\phi = \int_0^\pi \sin\phi\,d\phi = \big[-\cos\phi\big]_0^\pi = 2 . \end{equation*}$

Also ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadel die obere Kante schneidet,

$\begin{equation*} p = \frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{\pi} . \end{equation*}$

Methode

Die Anwendung dieses Zufallsexperiments auf die Berechnung von $\pi$ geschieht wie beim Zufallsregen: Wird die Nadel $N$ mal geworfen und trifft dabei $n$ mal eine der parallelen Linien, so ist

$\begin{equation*} \frac{n}{N} \approx p = \frac{2}{\pi} . \end{equation*}$

Damit kann $2N/n$ als Näherung für $\pi$ verwendet werden [15].