Zahl Pi XXL | MathePrisma

Taylor-Formel

Formel (28) zusammen mit der Abschätzung (29) kann zur näherungsweisen Berechnung von $\arctan x$ verwendet werden, wenn $x$ zwischen $0$ und $1$ liegt. Denn dann ist stets $x^{2n+1}\le 1$ und damit $|I_n(x)|\le 1/(2n+1)$ . Also kann der Fehler $I_n(x)$ beliebig klein gemacht werden, wenn $n$ nur groß genug gewählt wird (Animation). Die Formel war bereits Gregory bekannt und ist ein Spezialfall der Taylor-Formel.

Anwendung

Jetzt benutzen wir diese Formel zur Approximation von $\pi$ : Setzt man $x=1$ , so folgt aus $\arctan(1)=\pi/4$

$\begin{equation*} \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} + I_n(1) \end{equation*}$

mit

$\begin{equation} \label{23} \big| I_n(1) \big| \le \frac{1}{2n+1} . \end{equation}$

(30)

Beispiel

Für $n=3$ ergibt sich z.B.

$\begin{equation*} \pi = 4\Big(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\Big) +4I_n(1) = 3.46... + \epsilon \end{equation*}$

mit $|\epsilon| \le 4/7 =0.57...$

Vergleich

Diese Methode kann mit der Approximation durch Unter- und Obersummen verglichen werden. Hier wie dort müssen Summen mit $n$ Summanden berechnet werden, und die Approximationsgüte (1) ist mit (30) vergleichbar, weil $n$ beidesmal linear eingeht. Der entscheidende Unterschied liegt darin, daß bei den Unter- und Obersummen die Summanden aufwendig zu berechnende Quadratwurzeln enthalten, während hier die Summanden die Reziproken der positiven ungeraden Zahlen und damit viel einfacher zu berechnen sind.

Damit ist diese Methode besser als die Approximation durch Unter- und Obersummen und schlechter als die Methode von Archimedes.