Zahl Pi XXL | MathePrisma

Geschichte

Taylor-Reihe Im 17. Jahrhundert wurde von mehreren Mathematikern unabhängig voneinander eine Möglichkeit entdeckt, Funktionen durch Reihen darzustellen (das sind Summen mit unendlich vielen Summanden). Heute bezeichnet man diese Darstellung als Taylor-Reihe. Ist die Funktion $f$ im Intervall $[-r,r]$ definiert und dort beliebig oft differenzierbar, so gilt unter gewissen Voraussetzungen

$\begin{equation*} f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots . \end{equation*}$

Zum Beispiel gilt für die Sinusfunktion

$\begin{equation*} \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} +-\cdots \end{equation*}$

für alle reellen Zahlen $x$ .

Animation

Das ist überraschend, da der Sinus periodisch ist, was man der rechten Seite aber überhaupt nicht ansieht.

Die im Haupttext angegebene Näherungsformel für $\arctan \,x$ kann (ohne die Fehlerabschätzung) auch geschrieben werden als

$\begin{equation*} \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} -+ \cdots \end{equation*}$

für $x$ zwischen $-1$ und $1$ .

Animation

Demo

Hier kann man selbst eine Funktion und die Ordnung des Taylor-Polynoms angeben.

Programm

Bedienung

Experimente

Man gebe Standardfunktionen wie $\sin(x)$ , $\cos(x)$ , $\tan(x)$ , ..., und zusammengesetzte Funktionen wie $x\ast\exp(x)$ und $\sin(x)+\cos(2*x)$ ein und erhöhe den Grad des Taylorpolynoms schrittweise. Dabei ist eine immer bessere Approximation zu beobachten.

Achtung: Aufgrund von Rundungsfehlern tritt ab einem gewissen Grad des Taylorpolynoms eine Abnahme der Approximationsgüte auf. Ausserdem sind bei manchen Funktionen die höheren Ableitungen so kompliziert, daß es zu einem internen Speicherüberlauf kommt.