Zahl Pi XXL | MathePrisma

Methode

Es handelt sich ebenfalls um eine geometrische Methode. Dabei werden regelmäßige Vielecke dem Kreis ein- und umbeschrieben:

Aber diesmal wird nicht der Flächeninhalt verglichen, sondern der Umfang.

Herleitung

Hat das Vieleck $N$ Ecken, so hat ein Sektor den Winkel $360^\circ/N$ . Damit hat das Dreieck $ABC$ bei $B$ den Winkel $180^\circ/N$ und bei $A$ einen rechten Winkel.

Skizze

Da die Strecke $BC$ die Länge $1$ hat, hat die Strecke $AC$ die Länge $\sin(180^\circ/N)$ . Damit ist der Umfang des inneren $N$ -Ecks

$\begin{equation*} u_N = N \cdot 2 \cdot \sin\Big(\frac{180^\circ}{N}\Big) . \end{equation*}$

Ebenso ist das Dreieck $DBE$ bei $D$ rechtwinklig. Da die Strecke $BD$ die Länge $1$ hat, hat die Strecke $DE$ die Länge $\tan(180^\circ/N)$ . Damit ist der Umfang des umbeschriebenen $N$ -Ecks

$\begin{equation*} U_N = N \cdot 2 \cdot \tan\Big(\frac{180^\circ}{N}\Big) . \end{equation*}$

Der Umfang des Kreises ist $2\pi$ und liegt zwischen beiden Werten. Also ist $u_N < 2\pi < U_N$ und damit

$\begin{equation} \label{32} N \cdot \sin\Big(\frac{180^\circ}{N}\Big) < \pi < N \cdot \tan \Big( \frac{180^\circ}{N} \Big) . \end{equation}$

(2)

Beispiel

Für $N=5$ ergibt das z.B.

$\begin{equation*} 5\sin\Big(\frac{180^\circ}{5}\Big) < \pi < 5\tan\Big(\frac{180^\circ}{5}\Big) \end{equation*}$

und damit $2.938...<\pi<3.632...$