Zahl Pi XXL | MathePrisma

Genauigkeit

Für jeden konkreten Wert von $N$ kann der Fehler nach oben durch die Differenz des ersten und dritten Terms abgeschätzt werden. Aber um theoretische Aussagen machen zu können, sind diese Ausdrücke zu kompliziert. Mit folgender Überlegung kann eine einfachere obere Schranke angegeben werden. Sei $0\le \phi\le 60^\circ$ . Die Verdoppelungsformel für den Cosinus lautet

$\begin{equation} \label{31} \cos\phi = 1-2\sin^2\big(\frac{\phi}{2}\big) . \end{equation}$

(3)

Da der Kreis Umfang $2\pi$ hat, gehört zu einem Sektor mit Öffnungswinkel $1^\circ$ der Kreisbogen mit Länge $2\pi/360$ . Also gehört zum Sektor mit Winkel $\phi$ der Kreisbogen mit Länge $\pi\phi/180$ .

Skizze

Ein Vergleich der Sehne und des Kreisbogens zum Winkel $2\phi$ ergibt $2\sin\phi\le 2\pi\phi/180$ und damit

$\begin{equation} \label{30} \sin\phi \le \frac{\pi\phi}{180} . \end{equation}$

(4)

Aus (3) und (4) folgt jetzt

$\begin{align*} \tan\phi-\sin\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}(1-\cos\phi) \le \frac{\pi\phi/180}{\cos(60^\circ)}2\sin^2\big(\frac{\phi}{2}\big) \le \frac{\pi\phi/180}{1/2}2 \Big(\frac{\pi\phi/180}{2}\Big)^2 = \frac{\pi^3}{180^3}\phi^3 . \end{align*}$

Verwendet man $\phi=180^\circ/N$ , so ist die Differenz zwischen rechter und linker Seite in (2) höchstens

$\begin{equation} \label{11} N\Big( \tan\big(\frac{180^\circ}{N}\big) - \sin\big(\frac{180^\circ}{N}\big)\Big) \le \frac{\pi^3}{N^2}\le \frac{32}{N^2} . \end{equation}$

(5)

Vergleich

Im Vergleich zur Abschätzung für die Rechteck-Methode ist das für $n=N$ sehr viel besser, weil $N$ in (5) quadratisch eingeht.

Nachteil

Also scheint die Vieleck-Methode besser zu sein als die Rechteck-Methode. Aber man muß zu ihrer Anwendung die trigonometrischen Funktionen Sinus und Tangens berechnen, was mindestens so schwierig ist, wie $\pi$ zu berechnen.

Abschaetzung