MathePrisma Logo

Primzahlgeheimnisse

Primzahlgeheimnisse

Mersennesche Primzahlen

EN

Frage 1

Was ist los, wenn der Exponent zusammengesetzt ist?

  • Ist n zusammengesetzt, dann ist n = ab mit 1 < a, b < n.

  • Dann können wir die folgende Aussage nutzen:

\(2^{a b}-1\)
ist durch \(2^{a}-1\) teilbar.

(Beweis)

  • Alle Zahlen der Form \(2^{a b}-1\) sind also keine Primzahlen, da sie durch \(2^{a}-1\) teilbar sind, wobei \(1<2^{a}-1<2^{a\;b}-1\) gilt.

Verstanden?

Durch welche Zahl sind also beispielsweise alle Zahlen der Form \(2^{n} - 1\) mit geradem n teilbar?

Antwort:  


Begründung

Antwort 1

Alle Zahlen der Form \(2^{n} - 1\) sind keine Primzahlen, wenn n zusammengesetzt ist.

Also gilt:

Notwendige Bedingung

Eine Zahl der Form \(2^{n} - 1\) kann nur dann eine Primzahl sein, wenn n eine Primzahl ist.

Frage 2

Gibt es eine Zahl der Form \(2^{n} - 1\) , die keine Primzahl ist, obwohl n eine Primzahl ist?

Mersennesche Primzahlen

Nach Primzahlen der Form \(2^{p} - 1\) hat Mersenne gesucht. Deshalb nennt man sie mersennesche Primzahlen. Man kennt zur Zeit nur rund 30 solche Primzahlen.





Im Internet läuft die Suche nach der nächsten mersenneschen Primzahl.
Zum Mitmachen!

Die Vermutung, dass es unendlich viele mersennesche Primzahlen gibt, konnte bis heute noch nicht bewiesen werden.

Weitere mersennesche Primzahlen \(2^{p} - 1\) ergeben sich für folgende Werte von p:

13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593.