Rekursive Folgen | MathePrisma

Was kann man sich darunter vorstellen?

Der Goldene Schnitt ist ein Zahlenverhältnis, das eine besondere Rolle unter den Proportionen spielt:

Im Falle des Goldenen Schnitts entspricht bei einer Strecke
das Verhältnis der Gesamtstrecke zur Teilstrecke

dem Verhältnis der Teilstrecke zur Reststrecke.

So berechnet man den Goldenen Schnitt:

Geht man davon aus, dass die Gesamtstrecke die Länge 1 hat, dann ist die Länge x der Teilstrecke die positive Lösung der Gleichung

$1 : a$   =   $a : (1 - a)$

$\Leftrightarrow$    $1 - a$   =   $a^2$

$\Leftrightarrow$    $a^2 + a - 1$   =   0

Man bezeichnet diese als

$\rho = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 0,61803$

Geht man davon aus, dass die Teilstrecke die Länge 1 hat, dann ist die Länge b der Gesamtstrecke die positive Lösung der Gleichung

$b : 1$   =   $1 : (b - 1)$

$\Leftrightarrow$    $b^2 - b$   =   $1$

$\Leftrightarrow$    $b^2 - b - 1$   =   0

Diese positive Lösung $\tau$ wird Goldener Schnitt genannt:

$\tau = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1,61803$

Und nochmal Fibonacci-Zahlen:

Betrachtet man die Folge

Vorschrift $G_{\tau}(n)=\frac{F(n+2)}{F(n+1)} \quad$ für n>1

so nähert sich diese mit größer werdendem n immer mehr $\tau$ an (Beweis).
Entsprechend nähert sich die Folge

Vorschrift $G_{\rho}(n)=\frac{F(n)}{F(n+1)} \quad$ für n>1

mit größer werdendem n immer mehr $\rho$ an. (Beweis). Man kann den Wert von $\rho$ immer besser annähern durch die Näherungsbrüche